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2023届二轮复习通用版 1.3 力与曲线运动 学案
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这是一份2023届二轮复习通用版 1.3 力与曲线运动 学案，共18页。
第3讲 力与曲线运动
真题速练·明考情
1．(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点的向心加速度大小约为( C )
A．10m/s2 B．100m/s2
C．1000m/s2 D．10000m/s2
【解析】 纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100πrad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1000m/s2，C正确．
2．(2022·广东高考)图是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图象是( C )
【解析】 设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律mgsinθ＝ma1可得a1＝gsinθ，运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0，运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度a3＝g，设在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v＝，由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图象不可能为直线，且a1
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【解析】 航天员在空间站中所受万有引力完全提供其做圆周运动所需的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误；根据万有引力公式F万＝G可知，航天员在地球表面上所受引力的大小大于其在飞船处所受引力的大小，即大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
4．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m．已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( C )
A．6×105m B．6×106m
C．6×107m D．6×108m
【解析】 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107m，C正确．
〔命题趋势〕
高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合时题型多为计算题或选择题；结合万有引力定律与牛顿运动定律，对天体的运动进行定性分析和定量计算，结合能量守恒，考查天体的运动及变轨问题，多以选择题形式出现．
常用到的思想方法有：运动的合成与分解、模型法、假设法、近似法、估算法等．
核心知识·固双基
“必备知识”解读
1．平抛运动
(1)规律：vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2．
(2)推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ．
2．竖直平面内圆周运动的两种临界问题
(1)绳模型：物体能通过最高点的条件是v≥．
(2)杆模型：物体能通过最高点的条件是v≥0．
3．解决天体运动问题的“万能关系式”
4．第一宇宙速度
推导过程为：由mg＝＝得：
v1＝＝≈7.9km/s．
第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
“关键能力”构建
1．思想方法
(1)合运动性质和轨迹的判断
①若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动．
②若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动．
(2)处理变轨问题的两类观点
力学观点：从半径小的轨道Ⅰ变轨到半径大的轨道Ⅱ，卫星需要向运动的反方向喷气，加速离心；从半径大的轨道Ⅱ变轨到半径小的轨道Ⅰ，卫星需要向运动的方向喷气，减速近心．
能量观点：在半径小的轨道Ⅰ上运行时的机械能比在半径大的轨道Ⅱ上运行时的机械能小．在同一轨道上运动卫星的机械能守恒，若动能增加则引力势能减小．
(3)双星问题
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2．
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2．
③两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L．
2．模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量．
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等．
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
最高点
向心力
mg＋F弹＝m
mg±F弹＝m
恰好过
最高点
F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零
mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零
命题热点·巧突破, MINGTIREDIANQIAOTUPO
考点一 抛体运动
1．(2021·河北高考)铯原子钟是精确的计时仪器．图1中铯原子从O点以100m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2．O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m．重力加速度取g＝10m/s2，则t1∶t2为( C )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
【解析】 铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt1，解得t1＝＝0.002s，铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，有h＝g，解得t2＝＝0.4s，则＝，故选项C正确．
2．(2022·广东高考)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L．当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t．不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( B )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
【解析】 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B．
3．(2022·江西南昌模拟)如图所示，小球A从位于倾角为30°的斜面上某点以速度v1水平抛出，在右侧有另一小球B，从与小球A位于同一高度的某一位置，以速度v2水平抛出，两球都落在了斜面上的同一点，且小球B恰好垂直打到斜面上，则两球抛出初速度之比v1∶v2为( C )
A．1∶2 B．2∶
C．3∶2 D．∶4
【解析】 由题可知小球A、B做平抛运动时，下落的高度一样，由h＝gt2可知，两球做平抛运动的时间一样，设为t，对于小球A，落在斜面上时，位移方向与水平方向的夹角等于30°，则根据平抛运动规律的推论有tan30°＝＝，可得v1＝gt，对于小球B，垂直打在斜面上，可知小球落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为60°，则由平抛运动规律的推论有tan60°＝，可得v2＝gt，则可得＝，故选C．
4．(2022·山东烟台期末)某同学参加学校的跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，该同学以速率v沿与水平地面成某一角度方向跳出，运动过程中离开地面的最大高度为H＝，若该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学本次跳远的成绩为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 设速度v与水平方向夹角为θ，则H＝，运动时间t＝，水平位移x＝vcosθ·t，联立解得x＝，故选A．
考点二 圆周运动问题
考向1 水平面内的圆周运动问题
1．(2022·陕西汉中二模)2021年9月17日，十四届全运会铁人三项赛在汉中市天汉文化公园和天汉湿地公园拉开帷幕．某同学观看自行车比赛时发现运动员骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒．查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒．若该运动员骑自行车时的速率为8m/s，转弯的半径为10m，取重力加速度大小g＝10m/s2．则自行车与竖直方向的夹角的正切值为( C )
A． B．
C． D．1
【解析】 摩擦力提供向心力，摩擦力大小等于Ff＝，支持力与重力大小相等，支持力大小为FN＝mg，自行车与竖直方向的夹角的正切值tanθ＝，联立解得tanθ＝，故选C．
2．(多选)(2021·河北高考)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑．一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆．金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止．若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( BD )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【解析】 对小球受力分析，设弹簧弹力为F弹，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球在竖直方向，F弹sinθ＝mg，而F弹＝k，可知θ为定值，F弹不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；当转速较小时，水平方向杆对小球的弹力FN背离转轴，则F弹cosθ－FN＝mω2r，即FN＝F弹cosθ－mω2r，当转速较大时，杆对小球的弹力指向转轴，F弹cosθ＋FN′＝mω′2r，即FN′＝mω′2r－F弹cosθ，则因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力的大小不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r，可知，因角速度变大，则小球所受合外力一定变大，D正确．
考向2 竖直面内的圆周运动
3．(2022·甘肃金昌二模)滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果．滚筒截面如图所示，下列说法正确的是( D )
A．衣物运动到最低点B点时处于失重状态
B．衣物运动的过程中洗衣机对地面的压力不变
C．衣物运动到最高点A点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好
【解析】 依题意，衣物运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A错误；依题意，由于衣物在运动的过程中加速度方向总是指向洗衣机圆筒的圆心，根据牛顿第二定律可知，衣物对洗衣机圆筒的作用力发生变化；对洗衣机受力分析，由于洗衣机静止不动，可推知洗衣机对地面的压力也会发生变化，故B错误；依题意，衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态；运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，根据牛顿第二定律可得在B点时，衣物受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好，故C错误，D正确．
4．(多选)(2022·广东六校联考)如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，甲轨道由金属凹槽制成，乙轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，已知重力加速度为g，对于下述说法中正确的是( BD )
A．若hA＝hB＝2R，则两小球都恰能沿轨道运动到最高点
B．若hA＝hB＝2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时，对轨道的压力大小都为2mg
C．若A小球恰能到达甲轨道最高点，则恰好可以落回圆轨道上
D．若使小球沿轨道运动并从最高点飞出，A小球在hA≥，B小球在hB>2R的任意高度均可
【解析】 甲轨道由金属凹槽制成，小球恰能到达轨道最高点时，在甲轨道上最高点由小球重力提供向心力mg＝m，再由机械能守恒mghA＝2mgR＋mv，解得hA＝R，即小球通过A轨道到达最高点，对应的hA≥R，则当hA＝2R时，A小球不能达到最高点；而B小球只要满足hB>2R，则到达最高点的速度均大于零，能沿轨道运动到最高点，A错误，D正确；若hA＝hB＝2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时mghA＝mgR＋mv2，由牛顿第二定律FN＝m＝2mg，B正确；若A小球恰能到达甲轨道最高点，则满足mg＝m，当做平抛运动下落R时的水平位移为x＝vA＝R>R，则物体将落到轨道之外，C错误．故选BD．
考点三 开普勒定律 万有引力定律的应用
1．(2022·江苏连云港联考)2021年5月15日，“天问一号”着陆器安全“到站”，红色火星第一次留下了中国印迹．设探测器绕地球在轨道1上做匀速圆周运动的半径为R1(图a)，绕火星在轨道2上做匀速圆周运动的半径为R2(图b)．地球与火星的质量分别为M1、M2．在相同时间内，探测器与地球球心连线、火星中心连线扫过的面积为S1和S2，则是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 探测器绕地球在轨道1上做匀速圆周运动，设探测器与地球球心连线在时间t扫过的圆心角为θ1，则有S1＝θ1R，由θ1＝ω1t，可得S1＝ω1Rt，探测器绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力则有＝mωR1，可得S1＝，同理可得探测器绕火星在轨道2上做匀速圆周运动，探测器与火星球心连线在时间t扫过的面积为S2＝，联立可得＝，故C正确，A、B、D错误．
2．(2020·新课标Ⅱ卷)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( A )
A． B．
C． D．
【解析】 卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则＝mR，V＝πR3，ρ＝，知该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝，故A正确，B、C、D错误．
3．(2021·山东等级考)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( B )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【解析】 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力，则F祝＝G，F玉＝G，其中＝，＝，＝，代入数据解之得：F祝∶F玉＝9∶2，故B正确，A、C、D错误．
4．(2022·重庆二诊)2021年12月30日00时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星九号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．该卫星是一颗地球同步轨道通信技术试验卫星，卫星不同部分运行的轨道半径不同，轨道半径不同的部分所受地球引力及向心力不同，假设卫星能在圆轨道上正常运行，且卫星是质量分布均匀的球体，则( C )
A．卫星接近地球部分受到的引力小于所需的向心力
B．从卫星远离地球部分脱离的物体将做向心运动
C．卫星接近地球部分对远离地球部分有指向地心的作用力
D．卫星几何中心位置所处轨道高度略低于地球同步轨道高度
【解析】 卫星是地球同步轨道卫星，则卫星上位于地球同步轨道的部分恰好处于完全失重状态，对该部分有G＝mω2R，对高于同步轨道的部分有F万＝G，所需向心力F需＝m′ω2R′，所受地球引力小于所需向心力，有远离地球的趋势，同理，对低于同步轨道的部分有接近地球的趋势，又因为越接近地球，万有引力与所需向心力的差ΔF＝F万－F需＝G－m′ω2R′，增大得越快，若卫星几何中心位于同步轨道上，则卫星整体有接近地球的趋势，所以几何中心的位置要略高于同步轨道．A、B、D错误，C正确．
5．(2022·安徽马鞍山二模)一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 地球自转的角速度ω＝，设地球质量为M，半径为R，根据题意可得G＝k，又ρ＝，V＝πR3，联立解得ρ＝，故D正确，A、B、C错误．
6．(2022·浙江绍兴模拟)2022年4月16日0时44分，神舟十三号与空间站天和核心舱分离，正式踏上回家之路，分离过程简化如图所示，脱离前天和核心舱处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，从P点脱离后神舟十三号飞船沿轨道Ⅱ返回近地半径为r2的圆轨道Ⅲ上，Q点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，轨道Ⅲ上运行周期为T2，然后再多次调整轨道，绕行5圈多点顺利着落在东风着陆场，根据信息可知( C )
A．T1∶T2＝r1∶r2
B．可以计算地球的密度为ρ＝
C．在轨道Ⅱ上Q点的速率要大于在轨道Ⅱ上P点的速率
D．飞船在Р到Q过程中与地心连线扫过的面积与天和核心舱与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
【解析】 根据开普勒第三定律＝得T1∶T2＝∶，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝mr2，轨道Ⅲ为近地轨道，地球体积为V＝πr得ρ＝＝，故B错误；飞船沿轨道Ⅱ运动过程中满足机械能守恒定律，Q点的引力势能小于P点的引力势能，故Q点的动能大于P点的动能，即Q点的速率大于P点的速率，故C正确；根据开普勒第二定律，同一环绕天体与地心连线在相同时间内扫过的面积相等，飞船与核心舱在不同轨道运动，故D错误．
考点四 人造卫星和天体运动
1．(2022·山东，6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( C )
A．－R B．
C．－R D．
【解析】 设卫星运行周期为T0，则T0＝，根据＝m·(R＋h)，＝mg，联立解得h＝－R＝－R，选项C正确．
2．(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( D )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
【解析】 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr可得T＝2π可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m可得v＝，结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma可得a＝可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．
3．(多选)(2022·湖南，8)如图所示，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍．地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行．当火星、地球，太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日．忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( CD )
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【解析】 由开普勒第三定律得，＝，r火＝r地，则T火＝T地，故A错误；由＝mω2r得ω＝，轨道半径越大，角速度越小，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，因此火星运动的角速度小于地球运动的角速度，在冲日处，以地球为参考系，火星运动为逆行，故C正确，B错误；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星与地球线速度的方向相同，所以此时火星与地球的相对速度最小，故D正确．
4．(2022·浙江1月高考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( C )
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【解析】 因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年共12个月)，则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间，应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；卫星从P点变轨时，要增大速度，此后做离心运动速度减小，在Q点将做近心运动，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，但在Q点地火转移轨道的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误．故选C．
5．(2022·山东青岛模拟)某国际研究小组借助VLT光学望远镜，观测到了一组双星系统，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的．如图所示，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动．假设在演变的最初过程中两者球心之间的距离保持不变且两星体密度相同，则在演变的最初过程中( B )
A．两星体之间的万有引力变小
B．两星体做圆周运动的角速度不变
C．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
D．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变大，线速度变小
【解析】 设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L，转移的质量为Δm．则它们之间的万有引力为F＝G，根据数学知识得知，随着Δm的增大，F先增大后减小，故A错误；对两星体G＝(m1＋Δm)ω2r1，G＝(m2－Δm)ω2r2，解得ω＝，两星体做圆周运动的角速度不变，故B正确；根据G＝(m2－Δm)ω2r2得ω2r2＝，ω、L、m1均不变，Δm增大，则r2增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大．由v＝ωr2得线速度v也增大，故C、D错误．
应用创新·提素养
YINGYONGCHUANGXINTISUYANG
应用创新一 体育娱乐类
1．(2022·河南六市联考)第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行，这是我国继2008年奥运会后承办的又一重大国际体育盛会．如图所示为我国滑雪运动员备战的示意图，运动员(可视为质点)从曲面AB上某位置由静止滑下，到达B点后水平飞出，经时间t1后落到斜坡滑道C点；运动员调整位置下滑，又从B点水平飞出，经时间t2后落到斜坡滑道D点．已知O点在B点正下方，OC＝CD，斜坡足够长，不计空气阻力，则以下关系正确的是( D )
A．t2＝2t1 B．t2>2t1
C．t2>t1 D．t2
A．t＝s，l＝8m
B．t＝s，l＝5m
C．t＝s，l＝5.5m
D．t＝s，l＝5.5m
【解析】 小车做匀速圆周运动时有a＝，由题意可知，在BC段运动的最大速率为v1＝＝m/s＝m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝＝m/s＝2m/s，因此要想安全且用时最短，在圆弧路径行驶的最大速度为2m/s；小车先以4m/s的速度从A点匀速运动，然后以最大加速度减速到2m/s，减速时间t1＝s＝1s，这段时间走过的路径长为l′＝m＝3m，所以AB段匀速运动的最长距离为l＝(8－3) m＝5m，所用时间t2＝s．最短时间t＝s＝s，选项B正确．
3．(2022·河南洛阳二模)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光．下列说法正确的是( C )
A．安装时A端比B端更远离圆心
B．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用拉伸弹簧从而使触点接触，电路导通，LED灯发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
【解析】 要使物体做离心运动，MN接触，则应该A端靠近圆心，故A错误；转速越大，所需要的向心力越大，弹簧拉伸越长，MN接触就会发光，不能说物体受到离心力，故B错误；在最低点时F1－mg＝mω2r解得ω＝，增大质量，可以使LED灯在较低转速下也能发光，故C正确；在最高点时F2＋mg＝mω2r，匀速行驶时，最低点弹簧弹力大于最高点弹簧弹力，因此最高点不一定发光，故D错误．
应用创新二 航天科技类
4．(2022·浙江绍兴模拟)2022年3月23日中国航天员王亚平老师给地球上的小朋友们又上了一堂精彩的空中课堂，期间王亚平老师做了好几个实验，其中一个实验是把一个冰墩墩水平抛出(如图甲)，在空间站视角看来是做近似匀速直线运动，还有一个实验展示无接触实验舱，把一颗金属球悬浮在舱内进行加热(如图乙)，这两个实验在地球上人看来( D )
A．抛出后的冰墩墩不受力的作用
B．抛出后的冰墩墩做平抛运动
C．乙图中悬浮金属球受力平衡
D．乙图中悬浮金属球做匀速圆周运动
【解析】 抛出后的冰墩墩受到地球对它的引力作用，A错误；以地面为参考系，抛出后的冰墩墩随空间站一起做曲线运动，B错误；悬浮金属球处于完全失重状态，受到的合力并不为零，C错误；乙图中悬浮金属球随空间站一起绕地球做匀速圆周运动，D正确．
5．(2022·海南大联考)2022年，我国将先后发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱，与“天和”核心舱对接，进行舱段转位，完成空间站三舱组合体建造，并保持轨道半径不变．“天和”核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道半径是地球半径的k倍，飞行周期为T．已知引力常量为G，下列说法正确的是( D )
A．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
B．三舱组合体在轨道上飞行的周期大于T
C．两实验舱与“天和”核心舱对接后，核心舱向心加速度变大
D．地球的密度为
【解析】 核心舱绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力G＝m得v＝，地球第一宇宙速度(7.9km/s)是圆周半径等于地球半径时卫星的环绕速度，核心舱轨道半径大于地球半径，所以其飞行速度小于7.9km/s，A错误；三舱组合体保持轨道半径不变，由G＝mr得T＝2π可知周期不变，与核心舱组合前后质量无关，B错误；由G＝ma得a＝G，半径不变，所以核心舱向心加速度不变，C错误；设地球半径为R，则核心舱轨道半径为r＝kR，由G＝mr，V＝R3得地球的密度为ρ＝，D正确．
第3讲 力与曲线运动
真题速练·明考情
1．(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点的向心加速度大小约为( C )
A．10m/s2 B．100m/s2
C．1000m/s2 D．10000m/s2
【解析】 纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100πrad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1000m/s2，C正确．
2．(2022·广东高考)图是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图象是( C )
【解析】 设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律mgsinθ＝ma1可得a1＝gsinθ，运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0，运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度a3＝g，设在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v＝，由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图象不可能为直线，且a1
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【解析】 航天员在空间站中所受万有引力完全提供其做圆周运动所需的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误；根据万有引力公式F万＝G可知，航天员在地球表面上所受引力的大小大于其在飞船处所受引力的大小，即大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
4．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m．已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( C )
A．6×105m B．6×106m
C．6×107m D．6×108m
【解析】 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107m，C正确．
〔命题趋势〕
高考中单独考查曲线运动的知识点时，题型多为选择题，将曲线运动与功和能、动量、电场和磁场综合时题型多为计算题或选择题；结合万有引力定律与牛顿运动定律，对天体的运动进行定性分析和定量计算，结合能量守恒，考查天体的运动及变轨问题，多以选择题形式出现．
常用到的思想方法有：运动的合成与分解、模型法、假设法、近似法、估算法等．
核心知识·固双基
“必备知识”解读
1．平抛运动
(1)规律：vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2．
(2)推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ．
2．竖直平面内圆周运动的两种临界问题
(1)绳模型：物体能通过最高点的条件是v≥．
(2)杆模型：物体能通过最高点的条件是v≥0．
3．解决天体运动问题的“万能关系式”
4．第一宇宙速度
推导过程为：由mg＝＝得：
v1＝＝≈7.9km/s．
第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
“关键能力”构建
1．思想方法
(1)合运动性质和轨迹的判断
①若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动．
②若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动．
(2)处理变轨问题的两类观点
力学观点：从半径小的轨道Ⅰ变轨到半径大的轨道Ⅱ，卫星需要向运动的反方向喷气，加速离心；从半径大的轨道Ⅱ变轨到半径小的轨道Ⅰ，卫星需要向运动的方向喷气，减速近心．
能量观点：在半径小的轨道Ⅰ上运行时的机械能比在半径大的轨道Ⅱ上运行时的机械能小．在同一轨道上运动卫星的机械能守恒，若动能增加则引力势能减小．
(3)双星问题
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2．
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2．
③两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L．
2．模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量．
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等．
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
最高点
向心力
mg＋F弹＝m
mg±F弹＝m
恰好过
最高点
F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零
mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零
命题热点·巧突破, MINGTIREDIANQIAOTUPO
考点一 抛体运动
1．(2021·河北高考)铯原子钟是精确的计时仪器．图1中铯原子从O点以100m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2．O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m．重力加速度取g＝10m/s2，则t1∶t2为( C )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
【解析】 铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt1，解得t1＝＝0.002s，铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，有h＝g，解得t2＝＝0.4s，则＝，故选项C正确．
2．(2022·广东高考)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L．当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t．不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( B )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
【解析】 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B．
3．(2022·江西南昌模拟)如图所示，小球A从位于倾角为30°的斜面上某点以速度v1水平抛出，在右侧有另一小球B，从与小球A位于同一高度的某一位置，以速度v2水平抛出，两球都落在了斜面上的同一点，且小球B恰好垂直打到斜面上，则两球抛出初速度之比v1∶v2为( C )
A．1∶2 B．2∶
C．3∶2 D．∶4
【解析】 由题可知小球A、B做平抛运动时，下落的高度一样，由h＝gt2可知，两球做平抛运动的时间一样，设为t，对于小球A，落在斜面上时，位移方向与水平方向的夹角等于30°，则根据平抛运动规律的推论有tan30°＝＝，可得v1＝gt，对于小球B，垂直打在斜面上，可知小球落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为60°，则由平抛运动规律的推论有tan60°＝，可得v2＝gt，则可得＝，故选C．
4．(2022·山东烟台期末)某同学参加学校的跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，该同学以速率v沿与水平地面成某一角度方向跳出，运动过程中离开地面的最大高度为H＝，若该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学本次跳远的成绩为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 设速度v与水平方向夹角为θ，则H＝，运动时间t＝，水平位移x＝vcosθ·t，联立解得x＝，故选A．
考点二 圆周运动问题
考向1 水平面内的圆周运动问题
1．(2022·陕西汉中二模)2021年9月17日，十四届全运会铁人三项赛在汉中市天汉文化公园和天汉湿地公园拉开帷幕．某同学观看自行车比赛时发现运动员骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒．查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒．若该运动员骑自行车时的速率为8m/s，转弯的半径为10m，取重力加速度大小g＝10m/s2．则自行车与竖直方向的夹角的正切值为( C )
A． B．
C． D．1
【解析】 摩擦力提供向心力，摩擦力大小等于Ff＝，支持力与重力大小相等，支持力大小为FN＝mg，自行车与竖直方向的夹角的正切值tanθ＝，联立解得tanθ＝，故选C．
2．(多选)(2021·河北高考)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑．一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆．金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止．若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( BD )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【解析】 对小球受力分析，设弹簧弹力为F弹，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球在竖直方向，F弹sinθ＝mg，而F弹＝k，可知θ为定值，F弹不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；当转速较小时，水平方向杆对小球的弹力FN背离转轴，则F弹cosθ－FN＝mω2r，即FN＝F弹cosθ－mω2r，当转速较大时，杆对小球的弹力指向转轴，F弹cosθ＋FN′＝mω′2r，即FN′＝mω′2r－F弹cosθ，则因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力的大小不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r，可知，因角速度变大，则小球所受合外力一定变大，D正确．
考向2 竖直面内的圆周运动
3．(2022·甘肃金昌二模)滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果．滚筒截面如图所示，下列说法正确的是( D )
A．衣物运动到最低点B点时处于失重状态
B．衣物运动的过程中洗衣机对地面的压力不变
C．衣物运动到最高点A点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B点时受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好
【解析】 依题意，衣物运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A错误；依题意，由于衣物在运动的过程中加速度方向总是指向洗衣机圆筒的圆心，根据牛顿第二定律可知，衣物对洗衣机圆筒的作用力发生变化；对洗衣机受力分析，由于洗衣机静止不动，可推知洗衣机对地面的压力也会发生变化，故B错误；依题意，衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态；运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，根据牛顿第二定律可得在B点时，衣物受到滚筒的作用力最大，脱水效果更好，故C错误，D正确．
4．(多选)(2022·广东六校联考)如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，甲轨道由金属凹槽制成，乙轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，已知重力加速度为g，对于下述说法中正确的是( BD )
A．若hA＝hB＝2R，则两小球都恰能沿轨道运动到最高点
B．若hA＝hB＝2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时，对轨道的压力大小都为2mg
C．若A小球恰能到达甲轨道最高点，则恰好可以落回圆轨道上
D．若使小球沿轨道运动并从最高点飞出，A小球在hA≥，B小球在hB>2R的任意高度均可
【解析】 甲轨道由金属凹槽制成，小球恰能到达轨道最高点时，在甲轨道上最高点由小球重力提供向心力mg＝m，再由机械能守恒mghA＝2mgR＋mv，解得hA＝R，即小球通过A轨道到达最高点，对应的hA≥R，则当hA＝2R时，A小球不能达到最高点；而B小球只要满足hB>2R，则到达最高点的速度均大于零，能沿轨道运动到最高点，A错误，D正确；若hA＝hB＝2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时mghA＝mgR＋mv2，由牛顿第二定律FN＝m＝2mg，B正确；若A小球恰能到达甲轨道最高点，则满足mg＝m，当做平抛运动下落R时的水平位移为x＝vA＝R>R，则物体将落到轨道之外，C错误．故选BD．
考点三 开普勒定律 万有引力定律的应用
1．(2022·江苏连云港联考)2021年5月15日，“天问一号”着陆器安全“到站”，红色火星第一次留下了中国印迹．设探测器绕地球在轨道1上做匀速圆周运动的半径为R1(图a)，绕火星在轨道2上做匀速圆周运动的半径为R2(图b)．地球与火星的质量分别为M1、M2．在相同时间内，探测器与地球球心连线、火星中心连线扫过的面积为S1和S2，则是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 探测器绕地球在轨道1上做匀速圆周运动，设探测器与地球球心连线在时间t扫过的圆心角为θ1，则有S1＝θ1R，由θ1＝ω1t，可得S1＝ω1Rt，探测器绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力则有＝mωR1，可得S1＝，同理可得探测器绕火星在轨道2上做匀速圆周运动，探测器与火星球心连线在时间t扫过的面积为S2＝，联立可得＝，故C正确，A、B、D错误．
2．(2020·新课标Ⅱ卷)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( A )
A． B．
C． D．
【解析】 卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则＝mR，V＝πR3，ρ＝，知该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝，故A正确，B、C、D错误．
3．(2021·山东等级考)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( B )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【解析】 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力，则F祝＝G，F玉＝G，其中＝，＝，＝，代入数据解之得：F祝∶F玉＝9∶2，故B正确，A、C、D错误．
4．(2022·重庆二诊)2021年12月30日00时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星九号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．该卫星是一颗地球同步轨道通信技术试验卫星，卫星不同部分运行的轨道半径不同，轨道半径不同的部分所受地球引力及向心力不同，假设卫星能在圆轨道上正常运行，且卫星是质量分布均匀的球体，则( C )
A．卫星接近地球部分受到的引力小于所需的向心力
B．从卫星远离地球部分脱离的物体将做向心运动
C．卫星接近地球部分对远离地球部分有指向地心的作用力
D．卫星几何中心位置所处轨道高度略低于地球同步轨道高度
【解析】 卫星是地球同步轨道卫星，则卫星上位于地球同步轨道的部分恰好处于完全失重状态，对该部分有G＝mω2R，对高于同步轨道的部分有F万＝G，所需向心力F需＝m′ω2R′，所受地球引力小于所需向心力，有远离地球的趋势，同理，对低于同步轨道的部分有接近地球的趋势，又因为越接近地球，万有引力与所需向心力的差ΔF＝F万－F需＝G－m′ω2R′，增大得越快，若卫星几何中心位于同步轨道上，则卫星整体有接近地球的趋势，所以几何中心的位置要略高于同步轨道．A、B、D错误，C正确．
5．(2022·安徽马鞍山二模)一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( D )
A． B．
C． D．
【解析】 地球自转的角速度ω＝，设地球质量为M，半径为R，根据题意可得G＝k，又ρ＝，V＝πR3，联立解得ρ＝，故D正确，A、B、C错误．
6．(2022·浙江绍兴模拟)2022年4月16日0时44分，神舟十三号与空间站天和核心舱分离，正式踏上回家之路，分离过程简化如图所示，脱离前天和核心舱处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，从P点脱离后神舟十三号飞船沿轨道Ⅱ返回近地半径为r2的圆轨道Ⅲ上，Q点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，轨道Ⅲ上运行周期为T2，然后再多次调整轨道，绕行5圈多点顺利着落在东风着陆场，根据信息可知( C )
A．T1∶T2＝r1∶r2
B．可以计算地球的密度为ρ＝
C．在轨道Ⅱ上Q点的速率要大于在轨道Ⅱ上P点的速率
D．飞船在Р到Q过程中与地心连线扫过的面积与天和核心舱与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
【解析】 根据开普勒第三定律＝得T1∶T2＝∶，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝mr2，轨道Ⅲ为近地轨道，地球体积为V＝πr得ρ＝＝，故B错误；飞船沿轨道Ⅱ运动过程中满足机械能守恒定律，Q点的引力势能小于P点的引力势能，故Q点的动能大于P点的动能，即Q点的速率大于P点的速率，故C正确；根据开普勒第二定律，同一环绕天体与地心连线在相同时间内扫过的面积相等，飞船与核心舱在不同轨道运动，故D错误．
考点四 人造卫星和天体运动
1．(2022·山东，6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( C )
A．－R B．
C．－R D．
【解析】 设卫星运行周期为T0，则T0＝，根据＝m·(R＋h)，＝mg，联立解得h＝－R＝－R，选项C正确．
2．(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( D )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
【解析】 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr可得T＝2π可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m可得v＝，结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma可得a＝可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．
3．(多选)(2022·湖南，8)如图所示，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍．地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行．当火星、地球，太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日．忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( CD )
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【解析】 由开普勒第三定律得，＝，r火＝r地，则T火＝T地，故A错误；由＝mω2r得ω＝，轨道半径越大，角速度越小，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，因此火星运动的角速度小于地球运动的角速度，在冲日处，以地球为参考系，火星运动为逆行，故C正确，B错误；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星与地球线速度的方向相同，所以此时火星与地球的相对速度最小，故D正确．
4．(2022·浙江1月高考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( C )
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【解析】 因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年共12个月)，则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间，应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；卫星从P点变轨时，要增大速度，此后做离心运动速度减小，在Q点将做近心运动，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，但在Q点地火转移轨道的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误．故选C．
5．(2022·山东青岛模拟)某国际研究小组借助VLT光学望远镜，观测到了一组双星系统，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的．如图所示，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动．假设在演变的最初过程中两者球心之间的距离保持不变且两星体密度相同，则在演变的最初过程中( B )
A．两星体之间的万有引力变小
B．两星体做圆周运动的角速度不变
C．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
D．体积较大星体做圆周运动的轨迹半径变大，线速度变小
【解析】 设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L，转移的质量为Δm．则它们之间的万有引力为F＝G，根据数学知识得知，随着Δm的增大，F先增大后减小，故A错误；对两星体G＝(m1＋Δm)ω2r1，G＝(m2－Δm)ω2r2，解得ω＝，两星体做圆周运动的角速度不变，故B正确；根据G＝(m2－Δm)ω2r2得ω2r2＝，ω、L、m1均不变，Δm增大，则r2增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大．由v＝ωr2得线速度v也增大，故C、D错误．
应用创新·提素养
YINGYONGCHUANGXINTISUYANG
应用创新一 体育娱乐类
1．(2022·河南六市联考)第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行，这是我国继2008年奥运会后承办的又一重大国际体育盛会．如图所示为我国滑雪运动员备战的示意图，运动员(可视为质点)从曲面AB上某位置由静止滑下，到达B点后水平飞出，经时间t1后落到斜坡滑道C点；运动员调整位置下滑，又从B点水平飞出，经时间t2后落到斜坡滑道D点．已知O点在B点正下方，OC＝CD，斜坡足够长，不计空气阻力，则以下关系正确的是( D )
A．t2＝2t1 B．t2>2t1
C．t2>t1 D．t2
A．t＝s，l＝8m
B．t＝s，l＝5m
C．t＝s，l＝5.5m
D．t＝s，l＝5.5m
【解析】 小车做匀速圆周运动时有a＝，由题意可知，在BC段运动的最大速率为v1＝＝m/s＝m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝＝m/s＝2m/s，因此要想安全且用时最短，在圆弧路径行驶的最大速度为2m/s；小车先以4m/s的速度从A点匀速运动，然后以最大加速度减速到2m/s，减速时间t1＝s＝1s，这段时间走过的路径长为l′＝m＝3m，所以AB段匀速运动的最长距离为l＝(8－3) m＝5m，所用时间t2＝s．最短时间t＝s＝s，选项B正确．
3．(2022·河南洛阳二模)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光．下列说法正确的是( C )
A．安装时A端比B端更远离圆心
B．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用拉伸弹簧从而使触点接触，电路导通，LED灯发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
【解析】 要使物体做离心运动，MN接触，则应该A端靠近圆心，故A错误；转速越大，所需要的向心力越大，弹簧拉伸越长，MN接触就会发光，不能说物体受到离心力，故B错误；在最低点时F1－mg＝mω2r解得ω＝，增大质量，可以使LED灯在较低转速下也能发光，故C正确；在最高点时F2＋mg＝mω2r，匀速行驶时，最低点弹簧弹力大于最高点弹簧弹力，因此最高点不一定发光，故D错误．
应用创新二 航天科技类
4．(2022·浙江绍兴模拟)2022年3月23日中国航天员王亚平老师给地球上的小朋友们又上了一堂精彩的空中课堂，期间王亚平老师做了好几个实验，其中一个实验是把一个冰墩墩水平抛出(如图甲)，在空间站视角看来是做近似匀速直线运动，还有一个实验展示无接触实验舱，把一颗金属球悬浮在舱内进行加热(如图乙)，这两个实验在地球上人看来( D )
A．抛出后的冰墩墩不受力的作用
B．抛出后的冰墩墩做平抛运动
C．乙图中悬浮金属球受力平衡
D．乙图中悬浮金属球做匀速圆周运动
【解析】 抛出后的冰墩墩受到地球对它的引力作用，A错误；以地面为参考系，抛出后的冰墩墩随空间站一起做曲线运动，B错误；悬浮金属球处于完全失重状态，受到的合力并不为零，C错误；乙图中悬浮金属球随空间站一起绕地球做匀速圆周运动，D正确．
5．(2022·海南大联考)2022年，我国将先后发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱，与“天和”核心舱对接，进行舱段转位，完成空间站三舱组合体建造，并保持轨道半径不变．“天和”核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道半径是地球半径的k倍，飞行周期为T．已知引力常量为G，下列说法正确的是( D )
A．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
B．三舱组合体在轨道上飞行的周期大于T
C．两实验舱与“天和”核心舱对接后，核心舱向心加速度变大
D．地球的密度为
【解析】 核心舱绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力G＝m得v＝，地球第一宇宙速度(7.9km/s)是圆周半径等于地球半径时卫星的环绕速度，核心舱轨道半径大于地球半径，所以其飞行速度小于7.9km/s，A错误；三舱组合体保持轨道半径不变，由G＝mr得T＝2π可知周期不变，与核心舱组合前后质量无关，B错误；由G＝ma得a＝G，半径不变，所以核心舱向心加速度不变，C错误；设地球半径为R，则核心舱轨道半径为r＝kR，由G＝mr，V＝R3得地球的密度为ρ＝，D正确．
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