第2章 单元综合 一元二次函数、方程和不等式 练习（2）

第二章 一元二次函数、方程和不等式

总分：120分时间：120分钟

一、单选题（总分48分，每题4分)

1．不等式的解集为

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【解析】根据二次函数的图象可知，不等式的解是，故选A.

2．已知正数满足，则的最小值是    (　 　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：C.

3．若且，则下列不等式成立的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；

选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；

选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；

选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.

4．不等式的解集是（    ）．

A．    B．

C．，或    D．，或

【答案】B

【解析】由题意，∴即，解得：，

∴该不等式的解集是，故选．

5．设,且,则的最小值为（   ）

A．6 B．12 C．14 D．16

【答案】D

【解析】因为，

等号成立当且仅当，所以的最小值为.选D.

6．下列结论正确的是

A．当时，的最小值为 B．当时，

C．当无最大值 D．当且时，

【答案】B

【解析】对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故A错误；

对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；

对于C，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；

对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；

故选B

7．已知实数，则（   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，，，，

由于，在不等式上同时乘以得，因此，，故选：A.

8．已知，则的最小值为

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】由题意，因为，则，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

所以的最小值为5，故选C．

9．某市原来居民用电价为0.52元，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元．对于一个平均每月用电量为的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 (     )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设每月峰时段的平均用电量为，则谷时段的用电量为；

根据题意，得：，

解得．

所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为，

故选C．

10．已知正数满足，则的最小值为（  ）

A．5 B． C． D．2

【答案】C

【解析∵正数满足，∴，

∴

当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，故选C.

11．已知命题，命题，，则成立是成立的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解不等式可得，

对于命题，当时，命题明显成立；

当时，有：，解得：，

即命题为真时，

故成立是成立的充分不必要条件.

故选：A.

12．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程，有两个相等的根，则实数（     ）

A．－ B． C．或－ D．或－

【答案】A

【解析】由于不等式的解集为，

即关于的二次不等式的解集为，则.

由题意可知，、为关于的二次方程的两根，

由韦达定理得，，，，

，

由题意知，关于的二次方程有两相等的根，

即关于的二次方程有两相等的根，

则，，解得，故选：A.

二、填空题（总分16分，每题4分)

13．已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是________．

【答案】a＋b≥6

【解析】∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3，故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根，其中a＋b＝m，ab＝m＋3，要使方程有两个正根，应有

,得m≥6，

即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是a＋b≥6．

14．已知实数、，满足，则的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由题意得出，，且，.

由不等式的可加性可得出，，，

因此，的取值范围是.

15．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】当a=0时，不等式等价于，恒成立，所以a=0符合条件.

当时，不等式等价于，即 ，解得：，

所以a的范围为.

故答案为： .

16．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；

【答案】；

【解析】依题意，设新长方体高为，

则，

∴，当且仅当时等号成立．

∴的最大值为．

故答案为．

三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)

17．（1）已知，，，比较与的大小；

（2）已知，，，，求的取值范围．

【答案】（1）（2）   

【解析】（1）．

∵，，，∴，，，．

又，∴．∴．

（2）∵，，，∴，

当且仅当即当时等号成立．

故的取值范围是．

18．已知关于的不等式.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】（1）当时，不等式可化为：

不等式的解集为

（2）不等式可化为：，

（i）当时，，解得：    不等式解集为

（ii）当时，，

的根为：，

①当时，    不等式解集为

②当时，，不等式解集为

③当时，    不等式解集为

（iii）当时：

此时    不等式解集为或

19．已知关于的不等式．

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）若关于的不等式的解集为，

则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，

求得．

（2）若关于的不等式解集为，则，或，

求得或，

故实数的取值范围为．

20．设．

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式（R）．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得．

（2）不等式等价于．

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为．

21．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】（1）不等式可化为：，

①当时，不等无解；

②当时，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为.

（2）由可化为：，

必有：，化为，

解得：.

22．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（）

（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

【解析】当时，，

当时，

．

当时，，

当时，取得最大值1500；

当时，，

当且仅当即时取等号．

当时，取得最大值1800．

即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．