数学必修 第一册4.4 对数函数优秀练习

4.4.2 对数函数的图像和性质

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log2x|,若a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是(　　)

(A)a>b>c (B)b>a>c

(C)c>a>b (D)a>c>b

【答案】B

【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,

所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称,

所以函数y=f(x)是偶函数.

所以a=f(-3)=f(3)=|log23|=log23,

又b=f（）==|-2|=2,

c=f(2)=|log22|=1,所以c<a<b.

2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于(　　)

(A)e2x-2 (B)e2x

(C)e2x+1 (D)e2x+2

【答案】A

【解析】若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.

3.若logm8.1<logn8.1<0,那么m,n满足的条件是(　　)

(A)m>n>1   (B)n>m>1

(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1

【答案】C

【解析】由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.

4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在（-,0）内恒有f(x)>0,则a的取值范围是(　　)

(A)(1,+∞) (B)(0,1)

(C)(0,2)   (D)(1,2)

【答案】D

【解析】由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.

5.函数y=log2|x|的图象大致是(　　)

【答案】A

【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.

6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　. 

【答案】0

【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,

所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),

所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.

7.函数f(x)=|lox|的单调增区间为　　　　. 

【答案】[1,+∞)

【解析】由函数f(x)=|lox|可得函数的大致图象如图所示,

所以函数的单调增区间为[1,+∞).

8.已知f(x)=log4(4x-1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)求f(x)在区间[,2]上的值域.

【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].

【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定义域为(0,+∞).

(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,

因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),

故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

(3)因为f(x)在区间[,2]上单调递增,

又f()=0,f(2)=log415,

因此f(x)在区间[,2]上的值域为[0,log415].

能力提升

9.已知log2b<log2a<log2c,则(　　)

(A)()b>()a>()c 

(B)()a>()b>()c

(C)()c>()b>()a 

(D)()c>()a>()b

【答案】A

【解析】因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>（）a>（）c.故选A.

10.已知函数f(x)=则f(2+log23)等于(　　)

(A)8      (B)12    (C)16    (D)24

【答案】D

【解析】因为1<log23<2,所以3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23).

又4<3+log23<5,所以f(3+log23)==23×=8×3=24.故选D.

9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=ax与y=logax的图象是(　　)

【答案】D

【解析】因为函数y=ax与y=logax互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,

且当0<a<1时,函数y=ax与y=logax都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.

12.已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

【答案】（1）a的取值范围为(1,+∞)（2）a的取值范围为[0,1].

【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,

所以ax2+2x+1>0恒成立.

当a=0时,2x+1>0,x>-,不合题意;

所以a≠0.由得a>1.

故实数a的取值范围为(1,+∞).

(2)因为f(x)的值域为R,

所以{y|y=ax2+2x+1,x∈R}⊇(0,+∞).

(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数)

①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,

②当a≠0时,需即0<a≤1.

综上,实数a的取值范围为[0,1].

素养达成

13.已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).

(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;

(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.

【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log23).

【解析】(1)因为f(x)=log2(x+1),

g(x)=log2(3x+1),g(x)≥f(x),

所以3x+1≥x+1>0,

所以x≥0.

即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞).

(2)因为y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)

=log2(x≥0).

令h(x)==3-,

则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3,

故y=g(x)-f(x)∈[0,log23),

即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23).