2023届高考数学二轮复习专题1第2讲三角恒等变换与解三角形作业含答案

第二篇　专题一　第2讲　三角恒等变换与解三角形

一、选择题

1．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα等于(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，

得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，

即3cos2α－4cosα－4＝0，

解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).

又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，

所以sin α＝＝＝.

2．若sinα＝－，且a∈，则＝(　D　)

A．　　 B．－　　

C．2　　 D．－2

【解析】sin α＝－，可得＝－，

所以＝－，

解得tan＝－3或tan ＝－，

又a∈，∴∈，

∴tan ＝－3，

故＝＝－2.

故选D.

3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，且2acosB－acosC＝ccosA＋a－b，则△ABC面积的最大值是(　B　)

A．　　 B．　　

C．2　　 D．

【解析】由正弦定理得：2sin A cos B－sin A cos C＝sin C cos A＋sin A－sin B，

所以2sin A cos B＝sin (A＋C)＋sin A－sin B＝sin A，

又由0＜A＜π，可得sin A＞0，

则有cos B＝，

又0＜B＜π，则sin B＝，

由余弦定理得：cos B＝＝，

所以a2＋c2＝ac＋4≥2ac，所以ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

则S△ABC＝ac sin B≤×4×＝，

故选B.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　D　)

A．1＋　　 B．2＋

C．4＋　　 D．5＋

【解析】在△ABC中，a cos B＋b cos A＝2c cos C，

则sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，

即sin (A＋B)＝2sin C cos C，

∵sin (A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，

由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，

即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，

又S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，

∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，

∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.

5．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　A　)

A．1　　 B．2　　

C．　　 D．

【解析】∵2α－β＝，∴β＝2α－，

∴＝1，即＝1，

∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A.

6．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(a－b)·sinA＝csinC－bsinB，若△ABC的面积为3，则c的最小值为(　A　)

A．2　　 B．4　　

C．2　　 D．4

【解析】∵(a－b)·sin A＝c sin C－b sin B，

∴a2－ab＝c2－b2，∴a2＋b2－c2＝ab，

∴cos C＝＝，

∵0＜C＜π，

∴C＝，

∵S＝ab sin C＝3，

∴ab＝12，

∵c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝12(当且仅当a＝b＝2时取等号)，

∴c≥2，

∴c的最小值为2，

故选A.

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　D　)

A．cosC＝　　 B．sinB＝

C．a＝3　　 D．S△ABC＝

【解析】因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理＝，得＝，即＝，所以cos C＝，故A错误；因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误；因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝bc sin A＝×2×3×＝，故D正确．

8．已知f(x)＝(1＋cos2x)sin2x(x∈R)，则下面结论不正确的是(　D　)

A．f(x)的最小正周期T＝

B．f(x)是偶函数

C．f(x)的最大值为

D．f(x)的最小正周期T＝π

【解析】因为f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，f(x)的最大值为×2＝.故选D.

二、填空题

9．已知tan＝，则＝__－__．

【解析】因为tan ＝，所以＝，

即＝，解得tan α＝－，

所以＝＝tanα－＝－.

10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝____.

【解析】由正弦定理＝＝，

得＝，

整理得b2－a2＝2ac sin B－c2，

即b2＋c2－a2＝2ac sin B＝2bc sin A，

由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bc cos A，

∴2bc cos A＝2bc sin A，即cos A＝sin A，

∴tan A＝1，∴A＝.

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝____．

【解析】由b＝a，得sin B＝sin A.因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，所以sin A cos C＋cos A sin C＝sin Acos C＋sin A sin C(sin C≠0)，所以cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0＜C＜，所以C＝.

12．(2022·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为____．

【解析】由题意知，4a2＝b2＋2c2⇒b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2ac cos B，

整理，得2ac cos B＝－3a2＋3c2⇒cos B＝，

因为＝＝＝，

代入cosB＝，整理得

＝－，

令t＝，则＝－(9t2－22t＋9)

＝－＋，

所以≤，所以≤，

故的最大值为.

三、解答题

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sinCcosA＝2sinAsinB，2b＝3c.

(1)求A；

(2)若D是AB边的中点，CD＝，求△ABC的面积．

【解析】(1)因为3sin C cos A＝2sin A sin B，

由正弦定理，可得3c cos A＝2b sin A.

结合2b＝3c，

则有sin A＝cos A，所以tan A＝1，

又因为A∈，所以A＝.

(2)因为2b＝3c，D是AB边的中点，

所以AD＝.

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋b2－2AD·b cos A，

即()2＝＋b2－2··b cos ，

解得b＝3或b＝－3(舍去)，

则c＝2.

故△ABC的面积S＝bc sin A＝×3×2×＝3.