2023届高考数学二轮复习专题3第2讲空间点、线、面的位置关系作业含答案

第二篇　专题三　第2讲　空间点、线、面的位置关系

一、选择题

1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　C　)

A．直线AC　　 B．直线AB

C．直线CD　　 D．直线BC

【解析】由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.

又D∈AB，∴D∈平面ABC，

∴点D在平面ABC与平面β的交线上．

又C∈平面ABC，C∈β，

∴点C在平面β与平面ABC的交线上，

∴平面ABC∩平面β＝直线CD.

2．已知α，β，γ表示不同的平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中正确的是(　D　)

A．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n

B．α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ

C．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

D．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ

【解析】　若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或相交或异面，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则a与γ平行或相交，故B错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β.则m与n平行或异面，故C错误；若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ(垂直于同一平面的两个平面的交线垂直于这个平面)，故D正确，故选D.

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则(　D　)

A．AP⊥平面A1BD　　 B．AP⊥平面BB1D1

C．AP∥平面BC1D　　 D．AP∥平面A1BC1

【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由AA1与CC1平行且相等得平行四边形ACC1A1，得A1C1∥AC，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，得AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，而AD1，AC是平面AD1C内两条相交直线，因此有平面AD1C∥平面A1BC1，AP⊂平面AD1C，所以AP∥平面A1BC1，故选D.

4．点E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为(　A　)

A．90°　　 B．45°　　

C．30°　　 D．60°

【解析】如图，取PB的中点G，连接EG，FG，

则EG＝AB，GF＝PC，EG∥AB，GF∥PC，

则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，

在△EFG中，EG＝AB＝3，FG＝PC＝4，

EF＝5，EG2＋FG2＝EF2，所以∠EGF＝90°.

5．(2021·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，

连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，

易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，

所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.

又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，

AN，MN为平面AMN内的两条相交直线，

所以平面DBQP∥平面AMN，四边形DBQP的面积即所求．

因为PQ∥DB，所以四边形DBQP为梯形，

PQ＝BD＝，

梯形的高h＝＝，

所以四边形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝.

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为16，点P在正方形A1B1C1D1上且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正切值为(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】易知AB＝2，连接C1P，

在Rt△CC1P中，可计算C1P＝＝2，

又A1P＝2，A1C1＝4，

所以P是A1C1的中点，连接AC与BD交于点O，

易证AC⊥平面BDD1B1，

直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，

所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△CPO中，tan ∠CPO＝＝.

7．(2022·济南模拟)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的个数是(　C　)

①平面D1A1P⊥平面A1AP；

②∠APD1的取值范围是；

③三棱锥B1－D1PC的体积为定值；

④DC1⊥D1P.

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

【解析】　对于①，∵D1A1⊥平面AA1P，D1A1⊂平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故①正确；对于②，若P是A1B上靠近A1的一个四等分点，D1P2＝1＋＝，此时AP2＝AA＋A1P2－2AA1×A1P×cos 45°＝，D1P2＋AP2<AD，此时∠D1PA是钝角，故②错误；

对于③，∵BP∥CD1，∴BP∥平面B1D1C，∴P－B1D1C的底面是确定的，高也是定值，∴三棱锥B1－D1PC的体积为定值，故③正确；对于④，∵D1C⊥DC1，DC1∥A1B，∴DC1⊥A1B，又DC1⊥A1D1，A1B∩A1D1＝A1，∴DC1⊥平面A1PD1，D1C⊥平面A1PD1，D1P⊂平面A1PD1，∴DC1⊥D1P，故④正确．故选C.

8．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题不正确的是(　C　)

A．MB是定值

B．点M在圆上运动

C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C

D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE

【解析】取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，D正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，A正确；∵B是定点，∴M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，C不正确．∴A、B、D正确．故选C.

二、填空题

9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是__平行__．

【解析】易证A1C1，A1D都与平面AB1C平行，且A1D∩A1C1＝A1，所以平面AB1C∥平面A1DC1.

10．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝__1__．

【解析】如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，∵平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，∴＝，同理AD1∥DC1，∴＝，∴＝，又∵＝1，∴＝1，即＝1.

11．(2020·全国Ⅱ改编)设有下列四个命题：

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面；

③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；

④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则上述命题中所有真命题的序号是__①④__．

【解析】①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知①为真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．从而①④为真命题．

12．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).

设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直线l与平面BCC1B1不垂直；

④当x变化时，l不是定直线．

其中成立的结论是__①②③__．(写出所有成立结论的序号)

【解析】连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，

∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，

又平面MEF∩平面MPQ＝l，

∴PQ∥l，l∥EF，

∴l∥平面ABCD，故①成立；

又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；

∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；

当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．

三、解答题

13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF∥平面PDE.

【解析】　(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD；

又底面ABCD为正方形，

所以BD⊥AC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD，得证．

(2)如图所示，取PA的中点Q，PD的中点H，连接BQ、QH、HE，

所以会有QH∥AD，QH＝AD，

又BE∥AD，BE＝AD，

所以QH∥BE且QH＝BE，

所以四边形BQHE为平行四边形，

所以BQ∥EH，BQ⊄平面PDE，EH⊂平面PDE，

所以BQ∥平面PDE，

所以Q点，即为我们要找的F点．