2023届高考数学二轮复习专题5第1讲直线与圆作业含答案

第二篇　专题五　第1讲　直线与圆

一、选择题

1．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　D　)

A．y－x＝1　　 B．y＋x＝3

C．2x－y＝0或x＋y＝3　　 D．2x－y＝0或y－x＝1

【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，

故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，

当直线不过原点时，设方程为＋＝1，

代入点(1，2)可得－＝1，解得a＝－1，

方程为x－y＋1＝0，

故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.

2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　A　)

A．1　　 B．－2

C．1或－2　　 D．－

【解析】由两直线平行的条件可得－2＋m＋m2＝0，

∴m＝－2(舍)或m＝1.

3．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2，则k的值是(　C　)

A．－　　 B．0

C．0或－　　 D．

【解析】　由题意，知|MN|＝2，圆心为(3，2).设圆的半径为r，则r＝2，

所以圆心到直线的距离d＝＝＝1.

由点到直线的距离公式，得＝1，

解得k＝0或k＝－.故选C.

4．(2022·贵阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝10，已知直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|＝(　C　)

A．　　 B．　　

C．2　　 D．3

【解析】直线方程即a(x－2)＋b(y＋1)＝0，

则直线恒过定点(2，－1)，

圆心与定点之间的距离为：＝，

结合圆的性质可知直线l被圆O截得的弦长最小值|MN|＝2＝2.

故选C.

5．(2020·潍坊模拟)已知直线l过点A(a，0)且斜率为1，若圆x2＋y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为(　D　)

A．3　　 B．±3

C．±2　　 D．±

【解析】直线l的方程为y＝x－a，即x－y－a＝0.圆上恰有三个点到直线l的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即＝1，a＝±.

6．已知圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4，点M为直线l：x－y＋8＝0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程为(　D　)

A．(x－7)2＋(y－1)2＝4

B．(x－1)2＋(y－7)2＝4

C．(x－7)2＋(y－1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－7)2＝2

【解析】圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4的圆心C(2，6)，半径r＝2，

点C到直线的距离d＝＝2，

依题意，CA⊥AM，四边形CAMB周长2|CA|＋2|AM|＝4＋2≥4＋2＝4＋2＝8，

当且仅当CM⊥l时取“＝”，此时直线CM：x＋y－8＝0，

由得点M(0，8)，

四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM中点(1，7)，半径，方程为(x－1)2＋(y－7)2＝2.

故选D.

7．如图，P为圆O：x2＋y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M(3，)，则|MQ|的最小值为(　A　)

A．　　 B．2　　

C．　　 D．

【解析】过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，

由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，

又|OA|＝2，则可得|OP|＝，

由平面几何知识可得|OQ|＝，

∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2＋y2＝3；

|MQ|的最小值即为|OM|－r＝－＝2－＝.

故选A.

8．(2020·辽宁省大连模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点(　A　)

A．　　 B．(1，2)

C．(－2，3)　　 D．

【解析】设点P(x0，y0)，则x0－y0＋6＝0.过点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，以CP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，

又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，

代入可得(x＋y)x0＋6y－4＝0，

满足⇒

故直线AB过定点.

9．已知P(3，4－2)，过点P作圆C：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a为参数，且a∈R)的两条切线分别切圆C于点A、B，则sin∠APB的最大值为(　C　)

A．1　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】圆心C(a，a＋1)，半径为1，圆心C在直线y＝x＋1上运动，

设∠APC＝θ，则∠APB＝2θ，

由圆的几何性质可知tan θ＝＝，

所以sin ∠APB＝sin 2θ＝＝＝＝，

当直线PC与直线y＝x＋1垂直时，|PC|取最小值，

则|PA|＝取最小值，

且|PC|min＝＝2，

则|PA|min＝＝，则|PA|≥，

由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋在[，＋∞)上为增函数，且y＝x＋>0，

故函数f(x)＝在[，＋∞)上为减函数，

故当|PA|＝时，sin ∠APB取得最大值＝.

故选C.

二、填空题

10．已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为____．

【解析】由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，

直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0).

易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，

所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，

故|MA|·|MB|≤

.

11．已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶点，P(3，4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为__x2＋(y－3)2＝10__．

【解析】∵P(3，4)为C上一点，∴－＝1，

解得m＝1，则B(1，0)，∴kPB＝＝2，

PB的中点坐标为(2，2)，

PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，

令x＝0，则y＝3，

设外接圆圆心为M(0，t)，

则M(0，3)，r＝|MB|＝＝，

∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.

12．已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．

【解析】∵⊙O的圆心为(0，0)，半径r＝1，

设两个切点分别为A，B，

则由题意可得四边形PAOB为正方形，

故有|PO|＝r＝，

∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤，

即≤，

即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.

三、解答题

13．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【解析】　(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.