2023届高考数学二轮复习专题5第3讲圆锥曲线的综合问题作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题5第3讲圆锥曲线的综合问题作业含答案，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
第二篇　专题五　第3讲　圆锥曲线的综合问题1．(2022·合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为1的两条直线，这两条直线之间的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M，直线l与OM(O为坐标原点)平行且与C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．【解析】(1)因为分别过F1，F2所作的两条直线的斜率为1，故其倾斜角为，又两直线间的距离为，所以焦距2c＝2，所以c＝1，因为离心率e＝＝，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)kOM＝＝，由OM∥l，可设直线l的方程为y＝x＋n(n≠0)，代入3x2＋4y2＝12并整理得3x2＋3nx＋n2－3＝0.由直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点得Δ＝9n2－12(n2－3)>0，解得0<n2<12.由韦达定理得，x1＋x2＝－n，x1x2＝.所以|AB|＝＝＝，又点M到直线l的距离d＝.所以S△MAB＝|AB|·d＝·＝.因为≤＝6.所以当且仅当n＝12－n2，即n＝±(适合0<n2<12)时，△MAB面积的最大值为.2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．【解析】(1)将点P代入C的方程得4＝2p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，显然l斜率存在且不为0，设为k，则l：y＝kx＋1，由消去y得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)由已知，方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为PA，PB都与y轴有交点)，所以Δ＝－16k＋16>0且k2＋(2k－4)＋1≠0，即k<0或0<k<1，且k≠－3，且k≠1，所以k<0或0<k<1，且k≠－3，即直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA方程为y－2＝(x－1)，令x＝0得y＝－＋2，即点M为，所以＝，又＝(0，－1)，＝λ，所以＝λ(0，－1)，所以λ＝－1＝，＝，又点A(x1，y1)在直线l：y＝kx＋1上，所以＝＝＝－，同理＝－.由(1)中方程(*)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以＋＝－＋－＝－＝－·＝－·＝＝2，即＋为定值2.3．已知椭圆C：＋y2＝1，点P(0，1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：l过定点．【证明】设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设可知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1).4．(2022·临沂模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线准线于G，且满足|BG|＝.(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且OC⊥OD，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；(3)在(2)的条件下，求·的最大值．【解析】　(1)过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，由题知，直线的倾斜角为，∴在Rt△BGH中，∠GBH＝，又∵|BG|＝，∴|BH|＝，∴|BF|＝.∴|GF|＝|BG|＋|BF|＝4，∴在Rt△GFM中，又∠MFG＝，∴|MF|＝2，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)可知，抛物线方程为y2＝4x，设直线CD的方程为：x＝my＋t，C，D，直线与抛物线联立得y2－4my－4t＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，∵kOC＝，kOD＝且OC⊥OD，∴kOC·kOD＝＝＝－1，则t＝4，∴直线CD过定点(4，0)，即P点坐标为(4，0)，(3)由(2)可知P点坐标为(4，0)，∴·＝－(y＋y)＋16＋y1y2＝－16m2－16，∴·的最大值为－16.