2023届高考数学二轮复习第1讲把脉考向精准定位学案

这是一份2023届高考数学二轮复习第1讲把脉考向精准定位学案，共15页。学案主要包含了发挥学科特色，彰显教育功能，坚持开放创新，考查关键能力，倡导理论联系实际，学以致用等内容，欢迎下载使用。
第一篇　核心素养谋局·思想方法引领
第1讲　把脉考向　精准定位
数学学科通过高考命题落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用．试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值．试卷稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求．
一、发挥学科特色，彰显教育功能
近几年高考试卷，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观．试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀．
关注点1　科技发展与进步
典例1(2021·新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　C　)
A．26%　　 B．34%　　
C．42%　　 D．50%
【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
＝＝≈0.42＝42%.故选C.
【点评】以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养．
关注点2　社会与经济发展
典例2 (1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　C　)
A．60种　　 B．120种　　
C．240种　　 D．480种
【思路分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可．
【解析】　5名志愿者选2个1组，有C种方法，然后4组进行全排列，有A种，共有CA＝240种，故选C.
(2)(2022·金山区二模)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是(　D　)

A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【解析】　A选项，在2小时至2.5小时之间完成作业的人数为100×0.5×0.5＝25，A正确；B选项，完成作业的时间超过3小时的频率为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35，B正确；C选项，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为1.25×0.05＋1.75×0.15＋2.25×0.25＋2.75×0.2＋3.25×0.15＋3.75×0.1＋4.25×0.05＋4.75×0.05≈2.75，所以平均数大于2.7，所以C正确；做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为(0.5＋0.4)×0.5＝0.45＜0.5，所以D错误．故选D.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
①若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
②为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【思路分析】①由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
②由①可得E(X)，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．
【解析】　①由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为：
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
②由①可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
【点评】(1)以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
(2)以“双减”政策的落实情况为背景，考查由频率分布直方图求频数，频率平均数等问题考查学生分析问题解决问题以及数据处理的能力．
(3)以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考生对概率统计基本知识的理解与应用．
关注点3　优秀传统文化
典例3(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　A　)

A．＋表高　　 B．－表高
C．＋表距　　 D．－表距
【思路分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
【解析】　∵DE∥AB，∴＝，
∵FG∥AB，∴＝，
∴DE＝FG，故＝，
即＝，
解得：AE＝，AH＝AE＋EH，
故：AB＝＝＝＋DE.故选A.
【点评】以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智．
二、坚持开放创新，考查关键能力
《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象．高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学学科的选拔功能．
关注点1　“举例问题”灵活开放
典例4 (1)(2021·全国新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数__f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)__．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【思路分析】根据幂函数的性质可得所求的f(x).
【解析】　取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xx＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为R，
又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，
故f′(x)是奇函数，满足③.
故答案为f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足).
(2)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为__②⑤或③④__(写出符合要求的一组答案即可).

【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．
【解析】　观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④.故答案为②⑤或③④.
【点评】(1)答案是开放的，给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用．
(2)考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择．
关注点2　“结构不良问题”适度开放
典例5(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【思路分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可．
【解析】　选择①③为条件，②为结论．
证明过程如下：
由题意可得：a2＝a1＋d＝3a1，∴d＝2a1，
数列的前n项和：
Sn＝na1＋d＝na1＋×2a1＝n2a1，
∴＝n，∴S1＝.
当n≥2时，－＝n－(n－1)＝，
据此可得数列{}是等差数列．
选择①②为条件，③为结论：
设数列{an}的公差为d，则：
＝，＝＝，
＝＝，
∵数列{}为等差数列，则：＋＝2，
即：(＋)2＝(2)2，
整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1＋d＝3a1.
选择③②为条件，①为结论：
由题意可得：S2＝a1＋a2＝4a1，
∴＝2，
则数列{}的公差为d＝－＝，
通项公式为：＝＋(n－1)d＝n，
Sn＝n2a1，
据此可得，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1，
当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：an＝(2n－1)a1，
由an＋1－an＝[2(n＋1)－1]a1－(2n－1)a1＝2a1，
可知数列{an}是等差数列．
【点评】试题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．
典例6(2020·全国卷新高考Ⅰ卷)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，____________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】　选择条件①的解析：
由sin A＝sin B可得：＝，
不妨设a＝m，b＝m(m>0).
则：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m.
据此可得：ac＝m×m＝m2＝，
∴m＝1，此时c＝m＝1.
因此，选择①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
选择条件②的解析：
由sin A＝sin B可得：＝，
不妨设a＝m，b＝m(m>0)，
则：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m.
据此可得：cos A＝＝＝－，
则：sin A＝＝，
此时：c sin A＝m×＝3，
则：c＝m＝2.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
选择条件③的解析：
由sin A＝sin B可得：＝，
不妨设a＝m，b＝m(m>0)，
则：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m.
据此可得＝＝1，c＝b，
与条件c＝b矛盾，因此，选择条件③时问题中的三角形不存在．
【点评】此题是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则．
关注点3　“存在问题”有序开放
典例7(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【思路分析】(1)由正弦定理可得出2c＝3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
(2)分析可知，角C为钝角，由cosCb>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cos C＝＝＝