2023届高考数学二轮复习第3讲思想方法学案

这是一份2023届高考数学二轮复习第3讲思想方法学案，共15页。学案主要包含了函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等内容，欢迎下载使用。
第3讲　思想方法
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
一、函数与方程思想

思想方法解读
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．

思想方法应用
函数与方程思想的应用主要体现在：
1．在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
2．函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
3．在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果．
典例1 (1)(2022·晋城二模)已知函数f(x)＝为奇函数，则b＝(　D　)
A．－2　　 B．0　　
C．1　　 D．2
【解析】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，
可得x＞0时，f(x)＝－x2＋2x，
又x＞0时，f(x)＝－x2＋bx，
所以b＝2.故选D.
(2)(2022·十堰模拟)函数f(x)＝16x＋＋的最小值为(　A　)
A．4　　 B．2　　
C．3　　 D．4
【解析】f(x)＝16x＋＋＝16x＋＋＋≥4＝4，
当且仅当x＝0时等号成立，
所以f(x)的最小值为4.故选A.
(3)(2022·道里区校级四模)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(m，1)，函数f(x)＝a·b的图象关于直线x＝对称，则实数m的值为(　C　)
A．1－　　 B．1＋
C．2－　　 D．2＋
【解析】　由向量a＝(sin x，cos x)，b＝(m，1)，
则f(x)＝a·b＝m sin x＋cos x，
由函数f(x)＝a·b的图象关于直线x＝对称，
则f(0)＝f，即1＝＋，
则m＝2－，故选C.
(4)(2022·四川模拟)过点M(4，0)的直线l与双曲线－＝1(a>0，b>0)两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点．若该双曲线的离心率为2，则·的取值范围为__(－∞，－32]∪(0，＋∞)__．
【解析】　因为双曲线的离心率为2，
所以e＝＝2，所以＝4，
即＝4，所以＝3，
设直线l的方程为x＝ty＋4，其中t≠±，即t2≠.
分别将x＝ty＋4代入y＝x与y＝－x得A，B的坐标分别为，.
所以·＝＝＝.
因为t2≠，所以·的取值范围为(－∞，－32]∪(0，＋∞)，
故答案为(－∞，－32]∪(0，＋∞).
(5)(2022·兰州模拟)函数f(x)＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是__[－4，－2)__．
【解析】设g(x)＝
因为函数f(x)＝
有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
所以g(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
作出g(x)的图象如图所示，

由图可知1≤t＜4，且x1，x2是方程－x2－4x－t＝0的两个实根，
所以x1＋x2＝－4，
因为x3满足2x3－t＝0，即x3＝log2t，
因为1≤t＜4，所以log2 1≤log2t＜log2 4，
所以0≤x3＜2，
所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，
即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2).
故答案为[－4，－2).
典例2如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值．

【解析】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.
又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
所以AF⊥平面PBC，
而EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF.
所以EF是AE在平面PBC内的射影．
因为AE⊥PB，所以EF⊥PB，
又AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，
所以PB⊥平面AEF，所以PE⊥平面AEF.
在Rt△PAB中，因为AP＝AB＝2，AE⊥PB，
所以PE＝，AE＝，AF＝sin θ，EF＝cos θ.
VP－AEF＝S△AEF·PE＝××sin θ·cos θ×＝sin 2θ.
因为0