2023届高考数学二轮复习专题二第1讲等差数列与等比数列学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题二第1讲等差数列与等比数列学案，共12页。学案主要包含了素养提升，易错提醒等内容，欢迎下载使用。
专题二　数列
第1讲　等差数列与等比数列

考情分析
1．等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．
2．数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　)
A．14　　 B．12　　
C．6　　 D．3
【解析】　设等比数列{an}的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则解得
所以a6＝a1q5＝3.
故选D.
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　B　)
A．2n－1　　 B．2－21-n
C．2－2n-1　　 D．21-n－1
【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.
所以an＝a1qn-1＝2n-1，Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21-n.
方法二：设等比数列{an}的公比为q，
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝＝1，下同方法一．
3．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，
则{Sn}是递减数列，不满足充分性；
∵Sn＝(1－qn)，则Sn＋1＝(1－qn+1)，
∴Sn＋1－Sn＝(qn－qn+1)＝a1qn，
若{Sn}是递增数列，∴Sn＋1－Sn＝a1qn>0对∀n∈N恒成立，
则a1>0，q>0，∴满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.
4．(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　C　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
记[x]为不超过x的最大整数．
若{an}为单调递增数列，则d>0，
若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；
若a10可得n>1－，
取N0＝＋1，则当n>N0时，an>0，
所以，“{an}是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”；
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
假设dk，
当n>＋1时，an0，即数列{an}是递增数列．
所以，“{an}是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”．
所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的充分必要条件．故选C.
5．(2022·北京卷)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…).给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3；
②{an}为等比数列；
③{an}为递减数列；
④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__①③④__．
【解析】　由题意可知，∀n∈N*，an>0，
当n＝1时，a＝9，可得a1＝3；
当n≥2时，由Sn＝可得Sn－1＝，
两式作差可得an＝－，
所以，＝－an，则－a2＝3，
整理可得a＋3a2－9＝0，
因为a2>0，解得a2＝0，
可得an1，