2023届高考数学二轮复习专题二第2讲数列求和及其综合应用学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题二第2讲数列求和及其综合应用学案，共13页。学案主要包含了素养提升，易错提醒等内容，欢迎下载使用。
第2讲　数列求和及其综合应用

考情分析
数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__2__．
【解析】　由2S3＝3S2＋6可得
2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
故答案为2.
2．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝__7__．
【解析】　an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；
当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.
设数列{an}的前n项和为Sn，
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16
＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)
＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)
＝8a1＋392＋92
＝8a1＋484＝540.
∴a1＝7.故答案为7.
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数．
【解析】　(1)证明：设数列{an}的公差为d，
所以
即可解得，b1＝a1＝，所以原命题得证．
(2)由(1)知，b1＝a1＝，
所以bk＝am＋a1⇔b1×2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1，
即2k-1＝2m，
亦即m＝2k-2∈[1，500]，解得2≤k≤10，
所以满足等式的解k＝2，3，4，…，10，
故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.
4．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
【解析】　(1)证明：因为＋n＝2an＋1，
即2Sn＋n2＝2nan＋n①，
当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，
即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，
即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，
所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，
所以{an}是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12，
所以an＝n－13，
所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝－，
所以，当n＝12或n＝13时(Sn)min＝－78.
5．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋