2023届高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆学案，共15页。学案主要包含了易错提醒，素养提升等内容，欢迎下载使用。

专题五　解析几何
第1讲　直线与圆

考情分析
1．和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度．
2．和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　A　)
A．　　 B．－　　
C．1　　 D．－1
【解析】　由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
2．(多选)(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　ACD　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
【解析】　∵A(4，0)，B(0，2)，
∴过A、B的直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心坐标为(5，5)，
圆心到直线x＋2y－4＝0的距离
d＝＝＝>4，
∴点P到直线AB的距离的范围为，
∵<5，∴－4<1，＋4<10，
∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；
如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，

此时|BC|＝＝＝，
∴|PB|＝＝＝3，故C、D正确．故选ACD.
3．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或＋＝或＋＝__．
【解析】　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0，0)，(4，2)，(－1，1)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即＋(y－1)2＝.
4．(2022·全国新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程__y＝－x＋或y＝x－或x＝－1__.
【解析】　圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，
圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，

当切线为l时，因为kOO1＝，
所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，
所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
由题意解得
y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1，
故答案为y＝－x＋或y＝x－或x＝－1.
5．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
【解析】　∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
【解析】　(1)因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px(p>0)，
令x＝1，则y＝±，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1，)，Q(1，－)，
因为OP⊥OQ，故1＋×(－)＝0⇒p＝，
抛物线C的方程为：y2＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为1，
故⊙M：(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3).
当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，
设直线A1A2方程为kx－y＝0，根据点M(2，0)到直线的距离为1可得＝1，解得k＝±，
联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，
当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
此时有，＝1，
即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0，
同理，由对称性可得，(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0，
所以y2，y3是方程(y－1)t2＋2y1t＋3－y＝0的两根，所以y2＋y3＝，y2y3＝，
依题意有，直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
令M到直线A2A3的距离为d，
则有d2＝＝＝1，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切．

感悟高考
1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

核心拔头筹　考点巧突破
HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　
考点一　直线的方程

1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
典例1(1)(2021·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为(　A　)
A．±2　　 B．2　　
C．－2　　 D．0
【解析】　由题意可知：－(a＋1)(a－1)－(－3)×1＝0，整理得4－a2＝0，∴a＝±2，经验证a＝±2都满足．故选A.
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　B　)
A．2x＋3y－12＝0　　 B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0　　 D．2x－3y－12＝0
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，
令可得x＝－3，y＝1，
∴N(－3，1).
设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6).
则＝，
解得c＝12或c＝－6(舍去).
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.
【易错提醒】解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．

1．(1)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是(　C　)
A．－3x＋2y＋1＝0　　 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0　　 D．2x－3y＋1＝0
(2)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
【解析】(1)解方程组得
所以两直线的交点为(1，1).
因为直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
(2)由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，
解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2间的距离d＝＝.
考点二　圆的方程

1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
典例2 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．
【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二：画出示意图如图所示，

则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1，0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
(2)(2021·黑龙江佳木斯模拟)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(2，7)，则圆C的标准方程为__x2＋(y－8)2＝5__．
【解析】如图所示，

由圆心C(0，m)与切点A的连线与切线垂直，
得＝－，解得m＝8.
所以圆心为(0，8)，半径为r＝＝.
所以圆C的标准方程为x2＋(y－8)2＝5.
【素养提升】解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

2．(1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为(　B　)
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋16x＋y2＋39＝0
C．x2－16x＋y2－39＝0
D．x2＋y2－4x＝0
【解析】(1)由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5，5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
(2)设圆心为(a，0)(a＜0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离为d＝＝＝4，解得a＝－8，
则圆C的方程为(x＋8)2＋y2＝25，
即为x2＋16x＋y2＋39＝0，故选B.
考点三　直线、圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
典例3 (1)(2022·安徽模拟)点M为直线y＝－x＋4上一点，过点M作圆O：x2＋y2＝4的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为(　A　)
A．x＋y－2＝0　　 B．x＋y－＝0
C．x＋y－1＝0　　 D．x＋y＋1＝0
【解析】　因为直线MP、MQ与圆O：x2＋y2＝4相切，切点为P、Q，
所以OP⊥MP，OQ⊥MQ，MQ＝MP，
所以四边形MPOQ的面积为S＝S△OMP＋S△OMQ＝OQ·QM＋OP·MP＝2MP，
又MP＝＝，
所以S＝2，
所以当OM取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，
又当且仅当OM与直线y＝－x＋4垂直时，OM取最小值，
所以当OM与直线y＝－x＋4垂直时，四边形MPOQ的面积最小；
此时直线OM的方程为y＝x，
由解得
所以点M的坐标为(2，2).
因为OP⊥MP，OQ⊥MQ，
所以O、P、M、Q四点共圆，圆的直径为OM，该圆的圆心为(1，1)，半径为，
所以该圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
又因为P、Q在圆O：x2＋y2＝4上，所以PQ为两圆的公共弦，
所以PQ的方程为(x－1)2＋(y－1)2－x2－y2＝2－4，即为x＋y－2＝0.故选A.

(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　D　)
A．2x－y－1＝0　　 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0　　 D．2x＋y＋1＝0
【解析】⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1，1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，

∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4.
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由得
∴P(－1，0).
又∵直线x＝－1，即PA与⊙M相切，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1，1).
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0(m≠2)，
将A(－1，1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
【素养提升】直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．

3．(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　C　)
A．2　　 B．4　　
C．6　　 D．2
(2)已知圆O：x2＋y2＝，圆M：(x－a)2＋(y－1)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝，则实数a的取值范围是(　D　)
A．[－，]
B．[－，]
C．[，]
D．[－，－]∪[，]
【解析】(1)由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
知圆C的圆心为C(2，1)，半径为2.
方法一：因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，
则2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，
所以|AB|＝6.
方法二：由题意知，圆心在直线l上，
即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由图知，|AB|＝6.

(2)由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°，
在Rt△PAO中，|PO|＝3，
所以点P在圆x2＋y2＝9上，
由于点P也在圆M上，故两圆有公共点．
又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，1)，
∴3－1≤|OM|≤3＋1，
∴2≤≤4，
∴a∈[－，－]∪[，].
故选D.