2023届高考数学二轮复习专题六第2讲基本初等函数、函数与方程学案

第2讲　基本初等函数、函数与方程

考情分析

1．基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型．

2．函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．

自主先热身　真题定乾坤

ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身

1．(2021·全国新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　C　)

A．c<b<a　　 B．b<a<c

C．a<c<b　　 D．a<b<c

【解析】　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C.

2．(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为(　D　)

A．a<b<c　　 B．c<a<b

C．b<c<a　　 D．a<c<b

【解析】　∵a＝log20.3<log21＝0，

b＝0.4＝－log20.4>－log20.5＝1，

0<c＝0.40.3<0.40＝1，∴a<c<b，故选D.

3．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　C　)

A．25　　 B．5　　

C．　　 D．

【解析】　因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3，

所以4a-3b＝＝＝＝.

故选C.

4．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　A　)

A．ln (y－x＋1)>0　　 B．ln (y－x＋1)<0

C．ln|x－y|>0　　 D．ln|x－y|<0

【解析】　由2x－2y<3－x－3－y得：

2x－3－x<2y－3－y，

令f(t)＝2t－3－t，

∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为R上的减函数，

∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，

∵y－x>0，∴y－x＋1>1，

∴ln (y－x＋1)>0，则A正确，B错误；

∵与1的大小不确定，故C、D无法确定．

故选A.

5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)(　C　)

A．60　　 B．63　　

C．66　　 D．69

【解析】　∵I(t)＝，

所以I(t*)＝＝0.95K，

则e0.23(t*－53)＝19，

所以，0.23(t*－53)＝ln 19≈3，

解得t*≈＋53≈66.故选C.

6．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　A　)

A．a>0>b　　 B．a>b>0

C．b>a>0　　 D．b>0>a

【解析】　由9m＝10可得m＝log910＝>1，

而lg 9lg 11<＝<1＝(lg 10)2，

所以>，即m>lg 11，

所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0.

又lg 8lg 10<＝<(lg 9)2，

所以>，即log8 9>m，

所以b＝8m－9<8log89－9＝0.

综上，a>0>b.故选A.

感悟高考

1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．

2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．

核心拔头筹　考点巧突破

HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　

考点一　基本初等函数的图象与性质

1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况．

典例1 (1)“a>3”是“函数f(x)＝(a－1)x在R上为增函数”的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　若f(x)在R上为增函数，则a－1>1，即a>2，

因为a>3是a>2的充分不必要条件，

所以“a>3”是“函数f(x)＝(a－1)x在R上为增函数”的充分不必要条件．故选A.

(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln (x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　B　)

A．　　 B．(－∞，e)

C．　　 D．

【解析】由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，

即e－x＋2－ln (x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，

即函数y＝e－x与y＝ln (x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．

函数y＝ln (x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，

当a＝0时，两函数有交点，

当a<0时，向右平移，两函数总有交点，

当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，

把(0，1)代入y＝ln (x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，

∴a<e.

【素养提升】(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．

1．(1)函数f(x)＝ln (x2＋2)－ex-1的大致图象可能是(　A　)

(2)(2022·安阳模拟)若a＝2ln，b＝logπ3，c＝log2，则(　A　)

A．c＜b＜a　　 B．c＜a＜b

C．b＜a＜c　　 D．a＜b＜c

【解析】(1)当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；

函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；

f(0)＝ln 2－e-1，由于ln 2>ln ＝，e-1<，

所以f(0)＝ln 2－e-1>0，故排除C.

(2)a＝2＞20＝1，

0＝logπ 1＜b＝logπ 3＜logπ π＝1，

c＝log2＜log2 1＝0，

故c＜b<a.

故选A.

考点二　函数的零点

判断函数零点个数的方法：

(1)利用零点存在性定理判断法．

(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．

考向1　函数零点的判断

典例2 (1)函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象交点所在的区间可能为(　B　)

A．(0，1)　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　 D．(3，4)

【解析】　设h(x)＝2ex－－5，y＝ex是R上的增函数，y＝在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数，

因此h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，由选项只考虑(0，＋∞)上的情形，

h(1)＝2e－1－5＝2e－6<0，h(2)＝2e2－－5＝2e2－>0，所以h(x)在(1，2)上有零点．

所以函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象交点所在的区间可能为(1，2).

故选B.

(2)(2022·福州调研)已知函数f(x)＝－ex＋ax－e2有两个零点，则实数a的取值范围为(　D　)

A．(0，e2)　　 B．(0，e)

C．(e，＋∞)　　 D．(e2，＋∞)

【解析】f′(x)＝－ex＋a，

当a≤0时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，此时f(x)至多一个零点，不符合题意；

当a＞0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

因为f(x)有两个零点，所以f(ln a)＝a ln a－a－e2＞0，

令g(a)＝a ln a－a－e2，a＞0，则g′(a)＝ln a，

令g′(a)＜0，解得0＜a＜1，令g′(a)＞0，解得a＞1，

所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

且当0＜a＜1时，g(a)＜0，g(1)＝－1－e2＜0，g(e2)＝0，

所以a＞e2，

故选D.

考向2　求参数的值或取值范围

典例3 (1)已知关于x的方程9－|x-2|－4·3－|x-2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是__[－3，0)__.

【解析】设t＝3－|x-2|(0<t≤1)，

由题意知a＝t2－4t在(0，1]上有解，

又t2－4t＝(t－2)2－4(0<t≤1)，

∴－3≤t2－4t<0，

∴实数a的取值范围是[－3，0).

(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为(　B　)

A．0＜a＜1　　 B．0＜a＜2

C．a＞1　　 D．a＞2

【解析】作出函数f(x)的图象如图：

依题意方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，即y＝f(x)与y＝ax－1有且仅有三个交点，因为y＝ax－1必过(0，－1)，且f(0)＝－1，

若a≤0时，方程f(x)＝ax－1不可能有三个实数解，则必有a＞0，

当直线y＝ax－1与y＝ln x在x＞1时相切时，设切点坐标为(x0，y0)，

则f′(x)＝，即f′(x0)＝，

则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝·x＋y0－1＝·x＋ln x0－1，

∵切线方程为y＝ax－1，

∴a＝且ln x0－1＝－1，

则x0＝1，所以a＝1，

即当a＞0时，y＝f(x)与y＝ax－1在(0，＋∞)上有且仅有一个交点，

要使方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，

则当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f(x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2，即a＝2，

所以0＜a＜2.

故选B.

【素养提升】利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

2．(1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　B　)

A．1　　 B．3　　

C．2　　 D．4

(2)(2021·福建省福州模拟)若曲线y＝与x轴有且只有2个交点，则实数a的取值范围是(　D　)

A．1≤a≤2　　 B．a≥3

C．1≤a≤2或a≥3　　 D．1≤a<2或a≥3

【解析】(1)作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点．

(2)作出函数y＝2x－4与y＝(x－1)(x－3)的图象，

当a<1时，只有B一个零点；

当1≤a<2时，有A，B两个零点；

当2≤a<3时，有A一个零点；

当a≥3时，有A，C两个零点；

综上，实数a的取值范围是1≤a<2或a≥3，

故选D.