2023届高考数学二轮复习专题2第2讲数列求和及其综合应用课件

这是一份2023届高考数学二轮复习专题2第2讲数列求和及其综合应用课件，共54页。PPT课件主要包含了专题二数列，考情分析，真题热身，感悟高考，考点一数列求和，典例1，典例2，典例3，典例4等内容，欢迎下载使用。

第2讲　数列求和及其综合应用
数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上．
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
1．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝____．【解析】　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.故答案为2.
2．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝____．【解析】　an＋2＋(－1)nan＝3n－1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.设数列{an}的前n项和为Sn，
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540.∴a1＝7.故答案为7.
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数．
1．高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：
2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
考向1　分组转化法求和已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2，即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)，则an＝a1qn-1＝2n，n∈N*.
(2)∵cn＝b2n－1·b2n＝2n×22n＝2n·4n，∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n，4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n+1，两式相减得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n+1
【素养提升】(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差．(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．(3)错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
【解析】(1)当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，则a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44.所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8，故选C.
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明．
考点二　数列的综合问题
(1)(2022·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020等于(　　)A．2 017　　B．2 018C．2 019　　D．2 020
【解析】由直角坐标系可知，A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2；每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为2 020÷4＝505，所以a2 017＝505，a2 018＝1 009，a2 019＝－505，a2 020＝1 010，a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝2 019.
【易错提醒】(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提．(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n∈N*，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度．
2．(1)设曲线y＝2 020xn+1(n∈N*)在点(1，2 020)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg2 020xn，则a1＋a2＋…＋a2 019的值为(　　)A．2 020　　B．2 019　　C．1　　D．－1
(2)(2021·安徽黄山模拟)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2.记an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项an＝____________．