5.8 三角函数综合测试卷
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一、单选题
1．（2020·上海市七宝中学期中）函数，的最小正周期是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】
函数的最小正周期为：.
故选：A
2．（2020·山西运城·月考）函数，的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】
，
，
，
则函数的最小正周期为．
故选：．
3．（2020·安徽池州·期末（文））函数，的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数，则函数是奇函数，
排除D，
当时，，则，排除B，C，
故选：A．
4．（2020·广东中山·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
5．（2019·江门市第二中学期中）已知函数下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上是增函数
【答案】C
【解析】
原函数利用诱导公式化简为：，此函数为最小正周期为的偶函数，所以A,B正确，函数的对称轴由：得到：，显然，无论取任何整数，，所以C错误，答案为C.
6．（2020·广东梅州·其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，
则
设弧所在圆的半径为，则
解得
可以近似地认为，即
于是，长
所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，
因此只能选B，260或者由，
所以弧长.
故选：B
7．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）设为第二象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,
即
可得：，解得：
由可得：
所以.
故选：A
8．（2020·山西运城·月考）如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，
所以，，则，得，
，所以，当时，，因此，.
故选：D.
9．（2020·湖北竹溪·月考）若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
点睛：函数的性质：
(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间；
由求减区间.
10．（2020·山西运城·月考）关于函数，，，且在上单调，有下列命题：
（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称
（2）
（3）的图象关于点对称
（4）在上单调递增
其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
，
或
或
或或
因为在上单调，所以
因此或，（验证舍去）或
的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；
，（2）对；
，（3）错；
当时，，所以在上单调递增，（4）对；
故选：B
二、多选题
11．（2020·广东期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为，
由，，
因为，所以，，
由题意可得，，得，，
因为，所以或.
故选：BC.
12．（2020·临高县临高中学高一期末）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A． B．最小正周期为
C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】
将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
对A，函数，故A错误；
对B，最小正周期为，故B正确；
对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；
在区间上，单调递增，故D正确，
故选：BCD．
13．（2020·湖南月考）已知函数，现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．在区间上有三个零点 D．的最大值为2
【答案】AC
【解析】
∵，，
∴是奇函数，A正确；
的周期，，的周期，，
∵，
∴不是周期函数，B错误；
令，得，
∴，，或，，
解得，或，，
又，或或，C正确；
当时，，，
当时，，，
∵，
即与不可能同时取得最大值1，故D错误.
故选：AC.
14．（2020·广东东莞·期末）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．在上单调递减，那么的最大值是
C．满足
D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到
【答案】ABD
【解析】
，
对于A:,即A正确;
对于B: 时，单调递减，故减区间为,的最大值是,故B正确；
对于C: ，
，即不是的对称轴，故C错误；
对于D: 的图象向右平移个单位得到,故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
15．（2019·江门市第二中学期中）________.
【答案】
【解析】
∵，，
∴
故答案为
16．（2020·上海市七宝中学期中）若，则__________.
【答案】
【解析】
由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，
得，
又因为，则，即.
17．（2020·山东省泰安第二中学月考）若，则__________.
【答案】
【解析】
由可以得到，
所以，设，则
则，
所以.
故答案为.
四、双空题
18．（2019·江门市第二中学期中）已知函数，其中．若的值域是，则实数a的最小值为______，最大值为______．
【答案】
【解析】
当时，，
的值域是，
，，
的最小值为，最大值为.
故答案为：；
19．（2020·湖南茶陵三中高三月考）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则__________，__________．
【答案】
【解析】
因为角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称
所以
所以
故答案为：，
20．（2019·浙江衢州·高二期中）若（），则______，______.
【答案】
【解析】
由题可知，当时，（）显然无解，故，同时除以，得，即，
，
，
故
故答案为：；
21．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知，，则__________，若，都是锐角，则________.
【答案】
【解析】
，
；
，
又，都是锐角且，
.
故答案为：；.
五、解答题
22．（2020·广东中山·期末）已知，均为锐角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，均为锐角，
可得在第四象限，
则，
所以；
（2）由，
得，
.
23．（2019·江门市第二中学期中）设函数．
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
（1）由题意，函数，则，
因为函数是偶函数，所以，即，
解得，
又因为，所以或．
（2）由，可得，
所以，可得，
又由.
24．（2020·山西运城·月考）已知
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
（1）
令，，解得，，
∴的单调递减区间
（2）由（1）知，函数
在有零点等价于在有唯一根，
∴可得
设，
则
根据函数在上的图象，
∵与有唯一交点，
∴实数应满足或 ∴或．
故实数的取值范围或．
25．（2019·江门市第二中学期中）已知函数．
（1）求函数的最小值和最大值及相应自变量x的集合；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）画出函数区间内的图象．
【答案】（1）最大值为，取得最大值时相应x的集合为；
最小值为，取得最小值时相应x的集合为；
（2），；（3）图象见解析．
【解析】
（1）的最大值为，当，即时，等号成立，
∴取得最大值时相应x的集合为
的最小值为，当，即时，等号成立，
∴取得最大值时相应x的集合为
（2）由求得，
∴的单调递增区间是，
（3）列表：
图像如图所示：
26．（2020·湖南月考）如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，若的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由题意可得，，或．
，，即，．
（2），
，
，
，，
．
27．（2020·湖南郴州·月考）已知函数，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为，且函数图象的一个对称中心为.
（1）求的解析式；
（2）确定在上的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设函数的周期为，由题设得，
又∵为图像的一个对称中心，
∴，
又∵，∴，故；
（2）由，，
∴在上递增，
当时，在递增，由，
∴在上的单调递增区间为．
