一元二次函数、方程和不等式（综合测试卷）

《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷

一、单选题

1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，∴．

故选：D．

2．（2020·全国高一课时练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【解析】

，故方程必有两根，

又根据二次方程根与系数的关系，可得，

所以.

故选：B.

3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

对于选项A,令,时,,故A不正确；

对于选项C,,故C不正确；

对于选项D,令,时,,故D不正确；

对于选项B,,则

故选：B

4．（2020·全国高一课时练习）已知，则有　　

A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1

【答案】D

【解析】

当且仅当即时取等号，

故选：．

5．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

当时，，当且仅当，即时取等号，

当时，可得或，得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

6．（2020·全国高一课时练习）若方程只有正根，则m的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】B

【解析】

方程只有正根，则

当，即时，

当时，方程为时，，符合题意；

当时，方程为时，不符合题意.

故成立；

当，解得或，

则，解得.

综上得.

故选B.

7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是（    ）

A．①④ B．②③ C．①② D．③④

【答案】A

【解析】

由于，所以，由此可知：

①，所以①正确.

②，所以②错误.

③错误.

④由于，所以，有基本不等式得，所以④正确.

综上所述，正确不等式的序号是①④.

故选：A

8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是 (  )

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】

因为关于的不等式的解集为，

所以函数的图象始终落在轴的上方，

即，解得，

因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集，

对比可得C选项满足条件，

故选C.

9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(         )

A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m

【答案】C

【解析】

设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）

则xy＝4，

此时三角形框架的周长C为：

x+y+＝x+y+

∵x+y≥2 ＝4

∴C＝x+y+≥4+2≈6.83

故用7米的铁丝最合适．

故选C．

10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.

二、多选题

11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

由，

选项A为命题的充要条件，

选项B为的必要不充分条件，

选项C为的既不充分也不必要条件，

选项D为的必要不充分条件，

故选：BD.

12．（2019·山东莒县·高二期中）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（     ）.

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【解析】

设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.

若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则

解得，.

又，故可以为6，7，8.

故选:ABC

13．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高二期末）（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.

故选AD.

14．（2020·浙江高一单元测试）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确

由选项A有，设，则在上单调递减.

所以，所以选项B正确

(当且仅当时取得等号)，

．所以选项C正确.

（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．

故A，B，C正确

故选：ABC

三、填空题

15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式的解集是________.

【答案】

【解析】

原不等式可化为即，所以，

故，所以原不等式的解集为.

故答案为：.

16．（2020·全国高一课时练习）设，，那么的取值范围是________．

【答案】

【解析】

因为，，

所以，，

∴.

故答案为：.

17．（2020·全国高一课时练习）设a>0，b>0，给出下列不等式：

①a2＋1>a；②；

③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.

其中恒成立的是________.(填序号)

【答案】①②③

【解析】

解析由于a2＋1－a＝，故①恒成立；

由于a＋≥2，b＋≥2，

∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；

由于a＋b≥2，，

故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；

当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

故答案为：①②③

四、双空题

18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.

【答案】10    900   

【解析】

由题意可得，解得.

故答案为10     900

19．（2020·山东高三其他）已知正实数满足，则的最小值是__________，此时_________.

【答案】9       

【解析】

由可得，

由，得，

所以，

因为，所以，当且仅当时等号成立.

故答案为：9；.

20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.

【答案】8       

【解析】

∵x>0，y>0，x+2y=xy，

∴1，

∴1，

∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，

∴x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，

∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.

故答案为：8；(﹣4，2)

21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．

【答案】16    1   

【解析】

设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,

（1）由题意知，，

化简得：，

又，

所以，

解得：，

共种；

（2）由题意知，

，

，

，

，

即的最大值为1万元，

故答案为：16；1

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知，求的最小值．并求此时的值；

（2）设，求函数的最大值；

（3）已知，求的最小值；

（4）已知，，且，求的最小值；

【答案】（1）当时，取得最小值；（2）；（3）6；（4）

【解析】

（1）因为，所以，当且仅当，即时取等号；故当时，取得最小值；

（2），．

．

当且仅当，即时，等号成立．

，

函数的最大值为．

（3），

，当且仅当时取等号，即时，的最小值为，

（4），，，．

当且仅当时，上式等号成立，又，，时，．

点睛：

利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．

23．（2020·全国高一课时练习）已知，都是正数.求证：

；

【答案】证明见解析；证明见解析.

【解析】

证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；

证明：由基本不等式可知

，（当且仅当时取得等号）.

24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.

【答案】，，，证明见解析

【解析】

由题知：原来糖水的浓度为，

加入克糖后的浓度为，，.

因为这杯糖水变甜了，所以，

整理得：，，.

因为，

又因为，，所以，，，

所以，即证.

25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．

【答案】a2＋b2≥2ab.

【解析】

如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，

则大正方形的面积为，

四个矩形的面积和为，

显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，

所以

所以a2＋b2≥2ab.

26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是或，求k的值．

（2）若不等式的解集是，求k的值．

（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．

（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

（1）由不等式的解集为或可知，

且与是方程的两根，，解得．

（2）由不等式的解集为可知，解得．

（3）依题意知解得．

（4）依题意知解得．

27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于的不等式.

【答案】当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【解析】

原不等式可化为，即，

①当时，原不等式化为，解得，

②当时，原不等式化为，

解得或，

③当时，原不等式化为.

当，即时，解得；

当，即时，解得满足题意；

当，即时，解得.

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.