第一章 1.4.1 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)

A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是菱形

答案　C

解析　命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.

2．设集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　D

解析　因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.

3．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　)

A．a≤0   B．a>0

C．a<－1   D．a<1

答案　C

解析　因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．

所以即解得a<0.

选项中只有a<－1⇒a<0，故选C.

4．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．－1<m≤9   B．－1≤m≤9

C．m≤－1   D．m≥9

答案　B

解析　因为P是Q的必要条件，所以Q⊆P.

所以所以－1≤m≤9.故选B.

5．可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是(　　)

A．m<   B．m<

C．m<－   D．m<－

答案　A

解析　由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m<是m≤的必要条件，故选A.

二、填空题

6．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的________条件(填“充分”或“必要”)．

答案　充分

解析　当x＝5时，x2－4x－5＝0，而当x2－4x－5＝0时，x＝5或x＝－1，故“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分条件．

7．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．

答案　充分

解析　x>y>0⇒>1，而由>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足>1，但－5<－4，即x<y<0，不满足x>y>0.

故“x>y>0”是“>1”的充分条件．

8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．

答案　a≤1

解析　由题意可得条件p：x>1，若q是p的必要条件，则p⇒q，也就是说p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤1.

三、解答题

9．下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a>b，q：a>b＋1；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；

(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．

解　(1)∵a>b推不出a>b＋1，

而a>b＋1⇒a>b，

∴p是q的必要条件．

(2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，

∴p是q的必要条件．

(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．

(4)若方程x2－x－m＝0无实根，

则Δ＝1＋4m<0，即m<－.

∵m<－1⇒m<－，

而m<－推不出m<－1，∴p是q的充分条件．

10．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，求m的取值范围．

解　由3x＋m<0，得x<－.

记A＝x<－，

∴p：A＝x<－.

记B＝{x|x<－1或x>3}，

∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p是q的一个充分条件，

∴p⇒q，∴A⊆B，∴－≤－1，

∴m≥3，即m的取值范围是m≥3.

B级：“四能”提升训练

1．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．

(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；

(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．

(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．

答案　(1)(ⅰ)①②　(ⅱ)③　(2)见解析

解析　(1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.

(2)记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝x<－.由题意得B⊆A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．

2．已知集合A＝y＝x2－x＋1，－≤x≤2，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

解　先化简集合A，

由y＝x2－x＋1，配方，得y＝2＋.

因为－≤x≤2，所以≤y≤2.

所以A＝≤y≤2}.

因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，

命题p是命题q的充分条件，

所以A⊆B.

所以m＋1≤或m－1≥2，

解得m≤－或m≥3.

故实数m的取值范围是m≤－或m≥3.