第三章 3.2.1 第1课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.

2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上单调递减，则(　　)

A．k＞   B．k＜

C．k＞－   D．k＜－

答案　D

解析　当2k＋1＝0时，不符合题意，∴2k＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k＋1＜0，即k＜－.

3．若函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)

B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

答案　C

解析　因为函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.

4．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，对于x1<0，x2>0，则(　　)

A．f(－x1)>f(－x2)   B．f(－x1)<f(－x2)

C．f(－x1)＝f(－x2)   D．无法确定

答案　B

解析　因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是定义域为R的减函数，所以f(－x1)<f(－x2)．

5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是(　　)

A.   B．[－1，＋∞)

C.   D．(－∞，＋∞)

答案　C

解析　y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．故选C.

二、填空题

6．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　由于两函数在(1，＋∞)上都单调递减，应满足所以0<a<1.

7．设函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．

答案　f(－3)>f(－π)

解析　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．

8．已知函数f(x)＝是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________．

答案　(0,2]

解析　依题意得实数a应满足

解得0<a≤2.

三、解答题

9．证明：函数f(x)＝－x3＋1是减函数．

证明　函数f(x)＝－x3＋1的定义域为R，

∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1).

∵x1<x2，∴x2－x1>0，2＋x>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)＝－x3＋1是减函数．

10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，试比较f与f(a2－a＋1)的大小．

解　∵a2－a＋1＝2＋≥，

∴与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．

又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，

∴f≥f(a2－a＋1).

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．

解　(1)f(x)的图象如下图．

(2)由图象和解析式可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]，其值域为[－1,3]．

2．已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上单调递增；

(2)若f(4)＝5，求解不等式f(3m2－m－2)<3.

解　(1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)

＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋1

＝1－f(x2－x1)．

因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1.

故f(x1)－f(x2)<0，

即当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在R上单调递增．

(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

所以f(2)＝3.

由此可得f(3m2－m－2)<f(2)，

由(1)可知f(x)在R上单调递增，

所以3m2－m－2<2，

解得.