第三章 3.2.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

答案　B

解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.

2.函数f(x)＝－x的图象(　　)

A.关于y轴对称   B．关于直线y＝x对称

C.关于坐标原点对称   D．关于直线y＝－x对称

答案　C

解析　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，f(x)的图象关于坐标原点对称.

3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　A

解析　函数f(x)的定义域为.

又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.

4.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)

A.1  B．2  C．－1  D．－2

答案　D

解析　因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.

5.若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(　　)

A.(a，－f(a))  B．(－a，－f(－a))

C.(－a，f(a))  D．(－a，－f(a))

答案　D

解析　因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选D.

二、填空题

6.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2x－1)>f成立，则x的取值范围是________．

答案　－<x<

解析　由题可知f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)>f成立，则－<2x－1<，即－<x<.

7.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．

答案　f(x)＝

解析　设x＜0，则－x＞0，

∴f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x，

又∵y＝f(x)是R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，

故f(x)＝

8.已知奇函数f(x)在R上单调递增，∀m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．

答案　

解析　因为奇函数f(x)在R上单调递增，所以由f(mx－2)＋f(x)<0，得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，所以(m＋1)x<2.当m＝－1时，不等式(m＋1)x<2恒成立；当－1<m≤2时，x<恒成立，则x<＝；当－2≤m<－1时，x>恒成立，此时<x，即－2<x.综上，x∈.

三、解答题

9.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求当x<0时，f(x)的解析式．

解　设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.

又f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，

∴当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.

10.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．

解　当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－.

B级：“四能”提升训练

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2020)的值．

解　∵f(2－x)＋f(x－2)＝0，

令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0，

∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0.

又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，

∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0，

∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝0.

2.(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．

求证：f(x)为偶函数；

(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

证明　(1)令x1＝0，x2＝x，得

f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①

令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②

由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，

即f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数.

(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．

可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．

令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，

则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．

∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，

G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，

∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.