第五章 5.1.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．下列各式中正确的是(　　)

A．π＝180   B．π＝3.14

C．90°＝ rad  D．1 rad＝π

答案　C

解析　A项，π rad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝rad，故正确；D项，1 rad＝°，故错误．故选C.

2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则(　　)

A．扇形的面积不变

B．扇形圆心角不变

C．扇形面积增大到原来的2倍

D．扇形圆心角增大到原来的2倍

答案　B

解析　由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.

3．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为(　　)

A．－  B.  C.  D．－

答案　A

解析　∵－＝－2π－，∴θ＝－.又－＝－4π＋，∴θ＝.∴使|θ|最小的θ＝－.

4．若α＝2kπ－，k∈Z，则角α所在象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　∵－9<－<－8，∴－3π<－<－3π＋.

∴－在第三象限，故α也在第三象限．

5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　C

解析　设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝r，所以弧长r的圆心角的弧度数为＝.

二、填空题

6．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．

答案　－10π＋

解析　－1485°＝－1485×＝－＝－10π＋.

7．扇形AOB，半径为2 cm，AB＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为________．

答案　

解析　∵OA＝OB＝2，AB＝2，

∴∠AOB＝90°＝.

8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________________．

答案　，，，

解析　由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．

令k＝0,1,2,3，得＝，，，.

三、解答题

9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．

解　∵150°＝，

∴终边在阴影区域内角的集合为S＝.

∵2019°＝219°＋5×360°＝ rad，

又 <<，∴2019°∈S.

10．扇形AOB的周长为8 cm.

(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解　(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R.

依题意有解得θ＝或6.

即圆心角的大小为弧度或6弧度．

(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，

则扇形的圆心角θ＝.

于是扇形的面积是S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.

故当x＝2 cm时，S取到最大值．

此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．

即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.

B级：“四能”提升训练

1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝(C－2R)R＝－R2＋R＝－2＋2，当R＝，即α＝＝2时，扇形的面积最大，最大面积为.故选C.

2．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇所用的时间及P，Q各自走过的弧长．

解　设P，Q第一次相遇时所用的时间为t秒，

则t·＋t·＝2π，解得t＝4.

即第一次相遇时所用的时间为4秒．

P点走过的弧长为：×4＝，

Q点走过的弧长为：8π－＝.