第五章 5.3 第2课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角    B．第二象限角

C．第三象限角    D．第四象限角

答案　B

解析　∵sin<0，∴cosθ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos>0，∴sinθ>0.即θ是第一或第二象限角．综上θ是第二象限角．

2．在△ABC中，下列四个关系中正确的有(　　)

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝sinC；

③sin＝sin；④cos＝sin.

A．0个    B．1个 

C．2个    D．3个

答案　C

解析　因为△ABC中A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故①正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故②错误；sin＝sin＝cos，故③错误；cos＝cos＝sin，故④正确．综上，①④正确．故选C.

3．下列与sin的值相等的式子为(　　)

A．sin    B．cos

C．cos    D．sin

答案　D

解析　因为sin＝－sin＝－cosθ，

对于A，sin＝cosθ；

对于B，cos＝－sinθ；

对于C，cos＝cos＝－cos＝－sinθ；

对于D，sin＝sin＝－sin＝－cosθ.

4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　)

A．3－cos2x    B．3－sin2x

C．3＋cos2x    D．3＋sin2x

答案　C

解析　f(cosx)＝f＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x，故选C.

5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为(　　)

A．－m    B．－m 

C.m  D.m

答案　B

解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－m，即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝，∴cos＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.

二、填空题

6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.

答案　0

解析　原式＝sin(90°－α)－sinα＋cos(90°－α)－cosα＝cosα－sinα＋sinα－cosα＝0.

7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________.

答案　

解析　∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝>0，

∴85°＋α是第四象限角．

∴sin(85°＋α)＝－，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝.

8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C＝________.

答案　

解析　∵sin＝3sin(π－A)，

∴cosA＝3sinA，即tanA＝，

∴A＝.

又cosA＝－cos(π－B)，

∴cosA＝cosB，即＝cosB，

∴cosB＝，∴B＝，

∴C＝π－－＝.

三、解答题

9．求证：＝1.

证明　左边＝

＝

＝1＝右边．

∴原式成立．

10．若sinα＝，求＋

的值．

解　＋

＝＋

＝＋

＝＋＝，

因为sinα＝，所以＝10，

即原式＝10.

B级：“四能”提升训练

1．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．

解　原式＝·tan2α

＝·tan2α

＝·tan2α＝－tan2α.

方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－，cosα＝－，

∴tanα＝，故原式＝－tan2α＝－.

2．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解　假设存在角α，β满足条件，

则

由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sinα＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②，得cosβ＝，

∵0<β<π，∴β＝；

当α＝－时，由②，得cosβ＝，

∵0<β<π，∴β＝，但不适合①式，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．