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第五章 5.4.2 第1课时 课后课时精练
展开A级:“四基”巩固训练
一、选择题
1.下列函数中,周期为的是( )
A.y=sin B.y=sin2x
C.y=cos D.y=cos(-4x)
答案 D
解析 A中,T==4π;B中,T==π;C中,T==8π;D中,T==,故选D.
2.使函数y=sin(2x+φ)为奇函数的φ值可以是( )
A. B.
C.π D.
答案 C
解析 因为函数y=sin(2x+φ)的定义域为R,且为奇函数,所以f(0)=0,即sin(2×0+φ)=sinφ=0,故φ=kπ(k∈Z),故选C.
3.函数f(x)=的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
答案 A
解析 由1+cosx≠0得x≠(2k+1)π,k∈Z,显然定义域关于原点对称.因为f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选A.
4.函数y=-xcosx的部分图象是( )
答案 D
解析 ∵y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,∴排除A,C;当x∈时,y=-xcosx<0,排除B,故选D.
5.函数f(x)=3sin是( )
A.周期为3π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数 D.周期为的偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)=3sin=3sin=3sin=-3sin=-3cosx,f(-x)=-3cos=-3cosx=f(x),f(x+3π)=-3cos=-3cos=-3cosx=f(x),∴该函数是周期函数也是偶函数,且周期T=3π,故选A.
二、填空题
6.函数y=+2的最小正周期是________.
答案
解析 ∵函数y=sin2x的最小正周期T=π,∴函数y=+2的最小正周期为.
7.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sinx,则f(x)的解析式是________.
答案 f(x)=sin|x|
解析 当x<0时,-x>0,f(-x)=sin(-x)=-sinx,∵f(-x)=f(x),∴x<0时,f(x)=-sinx.∴f(x)=sin|x|,x∈R.
8.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2,则f(99)=________.
答案
解析 因为f(x)·f(x+2)=13,
所以f(x+2)=,f(x+4)==f(x),
所以f(x)是以4为周期的函数.
所以f(99)=f(24×4+3)=f(3)==.
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=coscos(π+x);
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
解 (1)∵∀x∈R,f(x)=coscos(π+x)
=-sin2x·(-cosx)=sin2xcosx.
∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin2xcosx=-f(x).
∴y=f(x)是奇函数.
(2)∵∀x∈R,-1≤sinx≤1,
∴1+sinx≥0,1-sinx≥0.
∴f(x)=+的定义域是R.
∵f(-x)=+,
=+=f(x),
∴y=f(x)是偶函数.
(3)∵esinx-e-sinx≠0,∴sinx≠0,
∴x∈R且x≠kπ,k∈Z.
∴定义域关于原点对称.
又∵f(-x)===-f(x),
∴该函数是奇函数.
10.已知函数y=sinx+|sinx|,
(1)画出函数的简图;
(2)此函数是周期函数吗?若是,求其最小正周期.
解 (1)y=sinx+|sinx|
=
图象如图所示:
(2)由图象知该函数是周期函数,其最小正周期是2π.
B级:“四能”提升训练
1.已知f(x)=sinax(a>0)的最小正周期为12.
(1)求a的值;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019).
解 (1)由=12,得a=.
(2)∵f(x)=sinx的最小正周期为12,
且f(1)+f(2)+…+f(12)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)
=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)+f(2018)+f(2019)
=0+f(2017)+f(2018)+f(2019)
=0+f(1)+f(2)+f(3)
=0+sin+sin+sin
=.
2.已知函数f(x)=cos,若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集.
解 当x∈时,g(x)=f=cos.
因为x+∈,
所以由g(x)=,解得x+=-或,
即x=-或-.
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)=的解集为{ x| x=kπ-或x=kπ-,k∈Z}