第五章 5.4.2 第2课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为(　　)

A．[－1,1]   B．[－2,2]

C．[－2,0]   D．[0,2]

答案　D

解析　当sinx≥0时，2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；

y＝2sinx,0≤y≤2.

当sinx<0时，2kπ＋π<x<2π＋2kπ，k∈Z，y＝0.

综合可知，函数的值域为[0,2]．

2．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又－π≤x≤0，所以－≤x≤0.

3．下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　　)

A．y＝sin   B．y＝cos

C．y＝sin   D．y＝cos

答案　A

解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin2x在上单调递增，故B不符合，故选A.

4．已知sinα＞sinβ，α∈，β∈，则(　　)

A．α＋β＞π   B．α＋β＜π

C．α－β≥－   D．α－β≤－

答案　A

解析　∵β∈，∴π－β∈，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈上单调递增，∴sinα＞sinβ⇔sinα＞sin(π－β)⇔α＞π－β⇔α＋β＞π，故选A.

5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝cos   D．y＝cos

答案　A

解析　逐一验证，由函数f(x)的最小正周期为π，故排除B；

又∵cos＝cos＝0.故y＝cos的图象不关于直线x＝对称，故排除C；对于D，易知函数在区间上单调递减，故排除D.只有A项全符合．

二、填空题

6．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．

答案　2π

解析　∵值域为，由y＝sinx的图象，知b－a的最大值为－＝，最小值为－＝，∴＋＝2π.

7．函数y＝的最大值为________．

答案　3

解析　由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.

8．函数y＝sin2x＋2cosx在区间上的最小值为－，则θ的取值范围是________．

答案　

解析　y＝－cos2x＋2cosx＋1.令t＝cosx，则y＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.由此函数的最小值为－，得－≤t≤1，即cosθ≥－，解得－≤θ≤.又θ＞－，故θ∈.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2cos.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．

解　(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ，

可得－＋kπ≤x≤－＋kπ，

故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)当3x＋＝－π＋2kπ，

即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2.

10．求下列函数的最大值和最小值．

(1)f(x)＝sin，x∈；

(2)f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈.

解　(1)当x∈时，

2x－∈，由函数图象知，

f(x)＝sin∈＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.

(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3

＝2sin2x＋2sinx＋1

＝22＋.

因为x∈，

所以≤sinx≤1.

当sinx＝1时，ymax＝5；

当sinx＝时，ymin＝.

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.

B级：“四能”提升训练

1．已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.

(1)求a，b的值；

(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．

解　(1)cos∈[－1,1]，

∵b>0，∴－b<0.

∴

∴a＝，b＝1.

(2)由(1)知g(x)＝－2sin，

∵sin∈[－1,1]，∴g(x)∈[－2,2]，

∴g(x)的最小值为－2，此时，sin＝1.

对应x的集合为.

2．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，△ABC的内角A满足f(cosA)≤0，求角A的取值范围．

解　①当0＜A＜时，cosA＞0.

由f(cosA)≤0＝f，

f(x)在(0，＋∞)上单调递增，得

0＜cosA≤，

解得≤A＜.

②当＜A＜π时，cosA＜0.

∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，

f＝－f＝0，

∴由f(cosA)≤0＝f，

得cosA≤－，

∴≤A＜π.

③当A＝时，cosA＝0，

∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，

∴f(0)≤0成立．

综上所述，角A的取值范围是∪.