第五章 5.4.3 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于点成中心对称

D．图象关于直线x＝成轴对称

答案　B

解析　对于A，由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.即kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.当k＝0时，函数的单调递增区间为.当k＝1时，函数的单调递增区间为，故A错误；对于B，函数的最小正周期为T＝π，故B正确；对于C，由x＋＝，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，即函数f(x)的对称中心为，k∈Z，故C错误；对于D，正切函数没有对称轴，故D错误．故选B.

2．函数y＝的奇偶性是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

答案　A

解析　要使f(x)有意义，必须满足

即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，

∴函数f(x)的定义域关于原点对称．

又f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)＝是奇函数．

3．下列各式中正确的是(　　)

A．tan>tan

B．tan<tan

C．tan4>tan3

D．tan281°>tan665°

答案　C

解析　对于A，tan<0，tan>0.

对于B，tan＝tan＝－1，

tan＝tan＝－tan<－tan＝－1.

∴tan>tan.

对于C，tan4>0，tan3<0，故tan4>tan3.

对于D，tan281°＝tan101°<tan665°＝tan125°.

4．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)

A．0  B．1  C．－1  D.

答案　A

解析　由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan4x，所以f＝tan＝tanπ＝0，故选A.

5．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　当＜x＜π时，tanx＜sinx，y＝2tanx＜0，排除A，B.当π＜x＜时，tanx＞sinx，y＝2sinx，排除C.故选D.

二、填空题

6．已知f(x)＝asinx＋btanx＋1满足f＝7，则f＝________.

答案　－5

解析　f＝asin＋btan＋1＝7，

∴asin＋btan＝6.

∴f＝f＝f

＝asin＋btan＋1

＝－asin－btan＋1

＝－＋1＝－5.

7．设点P(x0，y0)是函数y＝tanx与x＋y＝0图象的交点，则(x＋1)(cos2x0＋1)的值是________．

答案　2

解析　∵点P(x0，y0)是函数y＝tanx与y＝－x(x>0)的图象的一个交点，∴x＝tan2x0.

∴(x＋1)(cos2x0＋1)＝(tan2x0＋1)(cos2x0＋1)＝×2cos2x0＝2.

8．若tan≤1，则x的取值范围是________．

答案　－<x≤＋，k∈Z}

解析　∵tan≤1，

∴kπ－<2x－≤＋kπ，k∈Z.

∴－<x≤＋，k∈Z}.

三、解答题

9．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋5，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．

解　∵f(x)＝tan2x＋2tanx＋5＝(tanx＋1)2＋4，

∵x∈，∴tanx∈[－1,1]．

∴f(x)min＝4，此时tanx＝－1，x＝－.

f(x)max＝8，此时tanx＝1，x＝.

10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．

解　因为1＜T＜，

所以1＜＜，即＜k＜π.因为k∈N*，

所以k＝3，则f(x)＝2tan，

由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，

所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．

由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，得

－＋＜x＜＋，k∈Z.

所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.

(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；

(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．

解　(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－.

∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)取得最小值－，

当x＝－1时，f(x)取得最大值.

(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tanθ.

∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，

即tanθ≥1或tanθ≤－.

又θ∈，

∴θ的取值范围是∪.

2．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

解　(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，

即＝.

因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，所以φ＝.

故f(x)＝tan.

(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，

则－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，

即－＋＜x＜＋，k∈Z，

所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．

(3)由(1)，知f(x)＝tan.

由－1≤tan≤ ，得

－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.

解得－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.