第五章 5.5.1 第2课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy等于(　　)

A．sin(x＋2y)   B．－sin(x＋2y)

C．sinx   D．－sinx

答案　D

解析　cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy＝sin[y－(x＋y)]＝－sinx.

2．已知cos＋sinα＝，则sin的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　cos＋sinα＝cosα＋sinα＋sinα

＝cosα＋sinα＝

＝sin＝，

∴sin＝，

∴sin＝－sin＝－.

3．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

答案　A

解析　由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝＝＝－3.

4．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]   B．[－，]

C．[－1,1]   D.

答案　B

解析　因为f(x)＝sinx－cos

＝sinx－cosxcos＋sinxsin

＝sinx－cosx＋sinx

＝

＝sin(x∈R)，

所以f(x)的值域为[－，]．

5．△ABC中，若0<tanAtanB<1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．直角三角形   D．无法确定

答案　B

解析　∵0<tanAtanB<1，

∴tanA>0，tanB>0，

tan(A＋B)＝－tanC＝>0.

∴tanC<0，又∵0<C<π，∴<C<π.

二、填空题

6.的值为________．

答案　2－

解析　原式＝＝

＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝

＝2－.

7．若点P(－3,4)在角α的终边上，点Q(－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.

答案　－　

解析　因为点P(－3,4)在角α的终边上，所以r＝5，

故sinα＝，cosα＝－.

又因为点Q(－1，－2)在角β的终边上，所以r′＝，

故sinβ＝－，cosβ＝－，

则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.

8．已知tan＝，tan＝－，则tan的值等于________．

答案　

解析　tan＝tan

＝＝＝.

三、解答题

9．化简下列各式：

(1)sin＋2sin－cos；

(2)－2cos(α＋β)．

解　(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx

＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx

＝sinx＋cosx＝0.

(2)原式＝

＝

＝

＝.

10．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求tanβ的值．

解　(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tanα＝－，

因为tan(α＋β)＝＝，

所以tan(α＋β)＝＝.

(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝，

所以tanβ＝＝.

B级：“四能”提升训练

1．(1)已知sinα＝，cosβ＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；

(2)求值：sin＋cos；

(3)在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．

解　(1)(直接法)因为α为第一象限角，β为第二象限角，

sinα＝，cosβ＝－，所以cosα＝，sinβ＝，

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝，

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.

(2)(常值代换法)

原式＝2

＝2

＝2sin＝2sin＝.

(3)tanA＝tan[180°－(B＋C)]

＝－tan(B＋C)＝

＝＝－，

而0°<A<180°，∴A＝120°.

tanC＝tan[180°－(A＋B)]

＝－tan(A＋B)＝

＝＝，

而0°<C<180°，∴C＝30°，

∴B＝180°－120°－30°＝30°，

∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

2．是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝；(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

解　若α＋2β＝，则＋β＝，

∴tan＝＝.

又∵tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－，

∴tan，tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，

∴x1＝1，x2＝2－.

∵若tan＝1，但由于α是锐角，即0<<，故这是不可能的，

∴tan＝2－，tanβ＝1.

∵0<β<，∴β＝，α＝－2β＝.

∴存在这样的锐角α＝，β＝.