第五章 5.5.1 第3课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若sin＝，则cos的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　cos＝－cos＝－cos＝－＝2sin2－1＝－.

2．若＝，则tan2α＝(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.故选B.

3.·＝(　　)

A．tan2α  B．tanα  C．1  D.

答案　A

解析　原式＝·＝tan2α.

4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝，

∴2sinBsinC＝1＋cosA，

∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，

∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，

∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，

又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，

∴△ABC是等腰三角形．

5．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　∵sin2A＝2sinAcosA＝，∴A为锐角，

且1＋2sinAcosA＝，

即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝.

∴|sinA＋cosA|＝.

又∵A为锐角，∴sinA＋cosA＝，故选A.

二、填空题

6．已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝________.

答案　－

解析　由sinα＝，且α为第二象限的角得cosα＝－，得tanα＝－，tan2α＝－.

7．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．

答案　

解析　设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝，

sinB＝＝＝.

所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.

8．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝，则β＝________.

答案　

解析　由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.

∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝.

解法一：由tan(β－α)＝＝＝，

得tanβ＝1.

∵β为锐角，∴β＝.

解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝

＝＝1.

∵β为锐角，∴β＝.

三、解答题

9．已知角α在第一象限且cosα＝，求

的值．

解　∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，

sin2α＝2sinαcosα＝，

原式＝

＝＝.

10．已知sin－2cos＝0.

(1)求tanx的值；

(2)求的值．

解　(1)由sin－2cos＝0，

知cos≠0，

∴tan＝2，

∴tanx＝＝＝－.

(2)由(1)，知tanx＝－，

∴

＝

＝

＝

＝×

＝×

＝.

B级：“四能”提升训练

1．求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx，x∈的最小值，并求其单调递减区间．

解　f(x)＝5·＋·－2sin2x

＝3＋2cos2x－2sin2x

＝3＋4

＝3＋4

＝3＋4sin＝3－4sin.

因为≤x≤，

所以≤2x－≤.

所以sin∈.

所以当2x－＝，即x＝时，

f(x)取得最小值3－2.

因为y＝sin在上单调递增，

所以f(x)在上单调递减．

2．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sinxcosx.

(1)化简f(x)；

(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin2α.

解　(1)f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝sin.

(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，

即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，

∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ，k∈Z，

∴cos＝，

∴sin2α＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×＝.