第五章 5.6 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．把函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin的图象，则f(x)为(　　)

A．sin   B．sin

C．sin  D．sin

答案　C

解析　用x－代换选项中的x，化简得到y＝sin的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sin＝sin.

2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：

则有(　　)

A．A＝2，ω＝，φ＝0   B．A＝2，ω＝3，φ＝

C．A＝2，ω＝3，φ＝－   D．A＝1，ω＝2，φ＝－

答案　C

解析　由表格得A＝2，－＝，

∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.

当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.

3．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　由图象可知所求函数的周期为，故ω＝3，将代入解析式得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，令φ＝－代入解析式得f(x)＝Acos.又因为f＝－Asin＝－，所以f(0)＝Acos＝Acos＝，故选C.

4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则(　　)

A．f(x)的图象过点

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)的一个对称中心是

D．f(x)的最大值是A

答案　C

解析　∵ω＝＝2，∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，

函数的对称轴为2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)．

把x＝代入得φ＝π(k∈Z)．

因为|φ|＜，∴k＝1，φ＝.

所以f(x)＝Asin.

A项，f(0)＝A，不一定等于，故A项错误；B项，当x∈时，2x＋∈.因为不确定A的正负，所以f(x)在该区间可能单调递增，也可能单调递减，故B项错误；C项，当x＝时，2x＋＝π，(π，0)为y＝sinx的一个对称中心，故C项正确；D项，f(x)的最大值为|A|，故D项错误．综上，答案为C.

5．为得到函数y＝sin的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移 m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意可知，m＝＋2k1π，k1为非负整数，n＝－＋2k2π，k2为正整数，∴|m－n|＝，∴当k1＝k2时，|m－n|min＝.

二、填空题

6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.

答案　

解析　由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.

7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.

答案　

解析　将y＝sinx的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.

8．若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________．

答案　

解析　y＝sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin，即y＝sin，故－＋2kπ＝(k∈Z)，

即＝＋2kπ，解得ω＝＋6k(k∈Z)，

∵ω>0，∴ω的最小值为.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.

(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图；

(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．

解　(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

(2)将f(x)＝3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin＝3sinx的图象．

把f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图象，把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．

所以g(x)的解析式为g(x)＝sinx.

10．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？

解　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟所转过的角为＝，

则OP在时间t(s)内所转过的角为t.

由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.

当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.

故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.

(2)令z＝4sin＋2＝6，

得sin＝1，令t－＝，得t＝4，

故点P第一次到达最高点需要4 s.

B级：“四能”提升训练

1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

解　(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.

由f(x)＝3sin过，得sin＝0.

又∵|φ|<，故φ＝－，∴f(x)＝3sin.

(2)由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数(m＞0)，

知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.

∵m＞0，∴mmin＝.

故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．

2．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.

(1)试求这条曲线的函数解析式；

(2)写出函数的单调区间．

解　(1)依题意，得A＝，T＝4×＝4π，

∵T＝＝4π，ω＞0，∴ω＝.

∴y＝sin.

∵曲线上的最高点为，

∴sin＝1.

∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z.

∵－＜φ＜，∴φ＝.

∴y＝sin.

(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.

∴函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z)．

令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.

∴函数f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)．