第五章　单元质量测评(1)

第五章　单元质量测评

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　∵r＝＝5，∴cosθ＝，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－.

2．若－＜α＜0，则点P(tanα，cosα)位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　∵－＜α＜0，∴tanα＜0，cosα＞0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限．

3．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　)

A．3  B．6  C．18  D．36

答案　C

解析　根据题意，得该圆的半径为＝6，由扇形的面积公式，得S扇＝×6×6＝18.故选C.

4．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　对sinθ＋cosθ＝两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，所以2sinθcosθ＝，因为0＜θ＜，所以sinθ－cosθ＜0，则有sinθ－cosθ＝－

＝－＝－＝－.故选C.

5．已知sin＝，则sin的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　C

解析　∵＋＝π，

∴－α＝π－，

∴sin＝sin＝sin＝.

6．函数f(x)＝3sin的图象为C.

①图象C关于直线x＝对称；

②函数f(x)在区间上单调递增；

③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

以上三个论断中，正确论断的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　①f＝3sin＝3sin＝－3，

∴直线x＝为对称轴，①正确；

②由－＜x＜⇒－＜2x－＜，

由于函数y＝3sinx在上单调递增，

故函数f(x)在上单调递增，②正确；

③f(x)＝3sin，而由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图象，得不到图象C，③错误．

7．函数y＝2tan，x∈的值域是(　　)

A．[－2,2]   B．[－1,1]

C．[－2，2]   D．[－，1]

答案　C

解析　∵x∈，∴x－∈，∴y＝2tan∈[－2，2]，故选C.

8．若函数g(x)＝asinxcosx(a>0)的最大值为，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝0  B．x＝－

C．x＝－  D．x＝－

答案　B

解析　g(x)＝sin2x(a>0)的最大值为，所以a＝1，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，令x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z.故选B.

9．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是(　　)

A.  B．－  C．－2  D．2

答案　A

解析　由＝5，得＝5，即tanα＝2，∴sin2α－sinαcosα＝＝＝.

10．函数f(x)＝cos2x＋sinx的最大值与最小值之和为(　　)

A.  B．2  C．0  D.

答案　A

解析　f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－2＋，

∵－≤x≤，∴－≤sinx≤.

当sinx＝－时，f(x)min＝；

当sinx＝时，f(x)max＝，

∴f(x)min＋f(x)max＝＋＝.

11．已知tanθ和tan是方程x2＋ax＋b＝0的两根，那么a，b间的关系是(　　)

A．a＋b＋1＝0   B．a＋b－1＝0

C．a－b＋1＝0   D．a－b－1＝0

答案　C

解析　由已知条件，得tanθ＋tan＝－a，

tanθtan＝b.

∴tan＝1＝tan＝＝.∴－a＝1－b即a－b＋1＝0.

12．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上单调递减的φ的一个值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)

＝2

＝2

＝2sin为奇函数，

所以φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，排除A，D.当φ＝时，y＝2sin(2x＋2π)＝2sin2x，在上单调递增，故B错误．当φ＝时，y＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，在上单调递减，故C正确．选C.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)

13．已知tanα＝－，＜α＜π，那么cosα－sinα的值是________．

答案　－

解析　因为＜α＜π，所以cosα＜0，sinα＞0，

所以cosα＝－＝－

＝－＝－＝－.

sinα＝，所以cosα－sinα＝－.

14．已知α∈，且sinα＝，则sin2＋的值为________．

答案　－

解析　∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－.

∴sin2＋＝＋

＝＋2sinαcosα＝－.

15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　在同一坐标系中作出f(x)与y＝k的图象：

观察图象知0<k<1.

16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：

①y＝f(x)的最大值为；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间上单调递减；

④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)

答案　①②③

解析　f(x)＝cos＋cos

＝cos＋cos

＝sin＋cos

＝sin＝sin.

∴f(x)max＝，T＝＝π.

x∈时，2x＋∈，函数单调递减．

y＝cos2x向左平移个单位长度后得到

y＝cos＝cos

＝cos＝sin

＝sin与已知图象不重合．故①②③正确．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．

解　因为cosθ＝，θ∈(π，2π)，

所以sinθ＝－，tanθ＝－，

所以sin＝sinθcos－cosθsin

＝－×－×＝－，

tan＝＝＝.

18．(本小题满分12分)已知tanα＝－.

(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；

(2)求

的值．

解　(1)2＋sinαcosα－cos2α

＝

＝＝

＝＝＝.

(2)原式＝

＝＝－＝－tanα＝.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2－sin·cos－.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若f(α)＝，求sin2α的值．

解　(1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.

所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.

(2)由(1)知f(α)＝cos＝，

所以cos＝.

所以sin2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－＝.

20．(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

解　(1)f(t)＝10－2

＝10－2sin，

又0≤t<24，所以≤t＋<，

－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4  ℃.

(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，

故有10－2sin>11，

即sin<－.

又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.

在10时至18时实验室需要降温．

21. (本小题满分12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．

解　(1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，得

cosθ＝.

∵0≤θ≤，∴θ＝.

∵T＝π，且ω＞0，∴ω＝＝＝2.

(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，

∴点P的坐标为.

∵点P在y＝2cos的图象上，

且≤x0≤π，

∴cos＝，且≤4x0－≤，

∴4x0－＝或4x0－＝，

∴x0＝或x0＝.

22．(本小题满分12分)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2

＝2sin2x－(1－2sinxcosx)

＝(1－cos2x)＋sin2x－1

＝sin2x－cos2x＋－1

＝2sin＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sinx＋－1的图象，即g(x)＝2sinx＋－1.

所以g＝2sin＋－1＝.