期中模拟试题（三）-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）

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2020-2021学年高一数学下学期期中模拟试题（三） 一．选择题1．已知，两点，且，则点的坐标为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故选C．2．设复数满足，则等于　　A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故选B．3．若复数满足，为虚数单位，则　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，．故选C．4．设复数，则的虚部是　　A． B． C． D．【答案】A【解析】复数，的虚部是．故选A．5．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，设向量，夹角为，若单位向量，满足，则有，则有，故选A．6．已知矩形ABCD中，，，为AB上的点，且，为BC的中点，则　　A． B． C． D．【答案】B【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，距离如图所示的直角坐标系，则，，，，，，，则．故选B．7．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是　　A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则【答案】C【解析】．若，，，则，不正确，可能相交；．若，，则或，因此不正确；．若，，，则，正确；证明：设，，取，过点分别作，，则，，，，又，．．若，，则或．故选C．8．在四面体PABC中，，，，，则该四面体外接球的表面积为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可知．因为，，所以，即．设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为．故选D．二．多选题9．已知向量，，则　　A． B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则【答案】BCD【解析】对于，向量，，所以，且，所以与不平行，错误；对于，向量在向量上的投影向量为，所以正确；对于，因为，所以，，所以正确；对于，因为，所以，所以，选项正确．故选BCD．10．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，，则的面积为　　A．3 B． C． D．6【答案】AC【解析】由，利用正弦定理可得，即，，，或，又，，当为锐角时，，，，由，，中边上的高为3，；当为钝角时，，，，由，，中边上的高为，．故选AC．11．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是　　A．、、、四点共面 B．直线与所成角的为 C．平面 D．平面平面【答案】【解析】对于，、、在平面内，在平面外，故错误；对于，如图，取中点，连接，，可得，为直线与所成角，由题意可得为边长为的等边三角形，则，故正确；对于，若平面，又平面，则平面平面，而平面平面，矛盾，故错误；对于，在长方体中，平面，平面，平面平面，故正确．故选：BD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则　　A． B．平面 C．平面 D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选BC．三．填空题13．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则　　．【答案】【解析】．因为为纯虚数，所以，得．故答案为：．14．已知向量，，若，则　　．【答案】【解析】，，解得，则，，．故答案为：．15．已知单位向量、的夹角为，与垂直，则　　．【答案】【解析】根据题意，单位向量、的夹角为，则，若与垂直，则，解可得：，故答案为：．16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为　　．【答案】【解析】设和△的外心分别为、，连接，可得外接球的球心为的中点，连接、、、、、，中，，，，根据正弦定理，得外接圆半径球的表面积为，，，△中，，可得，直三棱柱的底面积，直三棱柱的体积为．故答案为：．四．解答题17．已知复数为纯虚数，且为实数．（1）求复数；（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，则，为实数，，即．（2），由题知且，解得．的取值范围是．18．已知，其中是虚数单位，为实数．（1）当为纯虚数时，求的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．【答案】（1）；（2），，.【解析】（1）为纯虚数，，解得；（2）在复平面内对应的点位于第二象限，，解得或．的取值范围是，，．19．平面内给定两个向量（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件知：，故．（2），．，，解得．20．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：因为，所以，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，为直角三角形，因为，，，，所以，所以，所以四棱锥的侧面积为．21．在中，内角、、对应的边长分别为、、，且满足．（1）求；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以由正弦定理，可得，整理得，又，所以，即，因为，，所以．（2）因为，由余弦定理，得，所以，整理可得，即，所以，当且仅当时取等号，，因此可以取到最大值，故的最大值．22．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）证明：四边形为菱形，．平面平面，平面平面，平面，平面．平面，．又，，得．又，平面，，平面；（2）解：由（1）得平面，平面，，，可得为等腰三角形．在中，由余弦定理得．，，则．可得，又，．