期中模拟试题（一）-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）

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2020-2021学年高一数学下学期期中模拟试题（一） 一．选择题1．已知复数满足为虚数单位），则　　A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故选B．2．已知复数满足，则　　A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故选D．3．已知，则复数　　A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故选C．4．已知，两点，且，则点的坐标为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故选C．5．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，设与的夹角为，若向量在向量上的投影向量为，则，则有，又，所以，故选B．6．已知是边长为4的等边三角形，为BC的中点，点在边AC上，设AD与BE交于点，则　　A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】因为是边长为4的等边三角形，为的中点，所以，由数量积的几何意义可知．故选C．7．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是　　A． B．平面平面 C．四面体的体积为定值 D．平面【答案】C【解析】，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），对于，，，，、平面，平面，平面，，故正确；对于，平面平面，平面与平面重合，平面平面，故正确；对于，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，四面体的体积不为定值，故错误；对于，平面平面，平面，平面，故正确．故选C．8．所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．所以外接球的表面积为：．故选C．二．多选题9．已知向量，，则　　A． B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则【答案】BCD【解析】对于，向量，，所以，且，所以与不平行，错误；对于，向量在向量上的投影向量为，所以正确；对于，因为，所以，，所以正确；对于，因为，所以，所以，选项正确．故选BCD．10．在中，如下判断正确的是　　A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则【答案】BCD【解析】，，，或，或，则为等腰或直角三角形． 故错误．，，，，故正确． 为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确．，，，，故正确．故选BCD．11．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是　　A．三棱锥的体积为定值 B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系 C．的最小值为 D．对于任意位置的点，均有平面平面【答案】BD【解析】对于，，面积不定，而到平面的距离为定值，不是定值，故错误；对于，由于平面，则经过直线的平面与的所有交线均与平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故正确；对于，设正方体棱长为1，，则，，则，，故错误；对于，由题意得直线与平面垂直，对于任意位置的点，均有平面平面，故正确．故选BD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则　　A． B．平面 C．平面 D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选BC．三．填空题13．己知是虚数单位，复数，则的虚部为　　．【答案】【解析】，则的虚部为，故答案为：．14．已知向量，，若，则　　．【答案】【解析】，，解得，则，，．故答案为：．15．设，，向量，若且，则的值是　　．【答案】3【解析】因为，所以．又因为，所以，．于是．故答案为：3．16．如图，在中，，，分别取三边的中点，，，将，，分别沿三条中位线折起，使得，，重合于点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为　　，三棱锥的体积为　　．【答案】；．【解析】由题意可知三棱锥的对棱分别相等，设，则，将三棱锥补成长方体，则面对角线长度分别为：，，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：，，，则，，．所以，所以外接球的半径为：，当时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时，解得，，所以三棱锥的体积为：．故答案为：；．四．解答题17．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或4．【解析】（1），所以有，（2）即可，解得或4．18．已知复数，，为虚数单位．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）复数，，所以；由该复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围是，；（2）化简，的共轭复数．19．在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以．即，由正弦定理得，由余弦定理，由为三角形内角得；（2），故，，，，，，，因为，所以，故，所以．故的面积的最大值．20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，，．（1）若，，求的最小值；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域．【答案】（1）；（2）当时的值域为；时的值域为，．【解析】（1），，时，取最小值为；（2），向量与向量共线，常数，，，①当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为．②当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为，．综上所述，当时的值域为；时的值域为，．21．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：因为，所以，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，为直角三角形，因为，，，，所以，所以，所以四棱锥的侧面积为．22．如图，在三棱锥中，，，，为棱上一点，，棱的中点在平面上的射影在线段上．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，，为的中点，则，，，则，又点在平面上的射影在线段上，平面，而平面，，，、平面，平面；（2）解：平面，平面，，点为棱的中点，，，又，、平面，平面，而平面，，，，，，，，在中，由，得，，即，，．三棱锥的体积为．