精品解析：北京市西城区2019-2020学年高一下学期期末数学试题

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2019-2020学年北京市西城区高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】写出与终边相同角的集合，取k值得答案.【详解】与角终边相同的角的集合为，取，可得.∴与角终边相同的是.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设，且，则（    ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为，且，则或.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设，均为单位向量，且，则（    ）A. 3 B.  C. 6 D. 9【答案】B【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】，均为单位向量，且，则.故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.在区间上，，单调递减，故排除B.在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（    ）A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得，，设向量，的夹角为，则，又因为，所以．故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设，，且，则下列不等关系中一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在上的单调性求解即可.【详解】因，，且，而在上有增有减；故与大小关系不确定，在上单调递减；若，则成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9. 将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由图可知，，根据函数图象的平移变化法则可知，于是推出，即或，，再结合，解之即可得的值.【详解】由图可知，，因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，所以，所以或，，解得或，，因，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10. 棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设棱锥的体积为V，则，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解.【详解】设棱锥的体积为V，则V为定值，所以，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.【答案】【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得.故答案为：【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可得，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称，∴，故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量，满足，.若，则实数______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵，∴，即，解得.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14. 已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则，解得，故球直径为.球的表面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数给出下列三个结论：①是偶函数；②有且仅有3个零点；③的值域是.其中，正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数，①由于，所以是非奇非偶函数，所以①不正确；②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数，的值域是，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.【详解】解：若对任意的实数x都成立，可得的最小值为，可得，，即有，，由，可得的最小值为2，此时.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得，再由商的关系求得；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵，且，∴，则；（2）∵，，∴.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
 （1）求正三棱锥的表面积；（2）求正三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取的中点D，连接，在中，可得.∴.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥的侧面积是.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.则正三棱锥的表面积为；（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.∴正三棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据求得的值，再由得到，根据两角和与差的公式可求得即可；（2）由可求得的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由可求出a，c的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为，，所以.由已知得.所以.（2）由（1）知，所以且.由正弦定理得.又因为，所以，.所以.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数.（1）求的定义域；（2）求在区间上的最大值；（3）求的单调递减区间.【答案】（1）；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到，即求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知，利用余弦函数的性质，令 求解.【详解】（1）因，即，解得，所以的定义域是（2）因为，，又，所以，，所以区间上的最大值是1；（3）令 ，解得 ， 所以的单调递减区间.是【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体中，E为的中点.（1）在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；（2）设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2.求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，∵，平面，则平面，∵，平面，∴平面.∴平面平面.（2）设，连接，由E为的中点，得G为的中点，∴，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2..∴另一部分几何体的体积为.∴两部分的体积比为【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形中，，半径，P为弧上一点.（1）若，求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出，，再在中，由余弦定理可求得，然后根据平面向量数量积的定义，代入数据进行运算即可得解；（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当时，如图所示，∵，∴，，∴，在中，由余弦定理，得，∴，又，∴（2）以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，∵，，∴，设，其中，则.∵，∴，，∴当，即时，取得最小值为.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．