人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品习题

1.2 空间向量基本定理-基础练

一、选择题

1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是   

A.  B.   C.   D.  

【答案】C
【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．

2.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　)

A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}        C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}

【答案】C 

【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.

3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.-a+b+c B.a+b+c       C.-a-b-c D.-a-b+c

【答案】C 

【解析】)-()=-a-b-c.

4.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则不能与a,b构成空间的一个基底的是(　　)

A. B. C. D.

【答案】C 

【解析】∵a=,b=,∴(a-b),∴与向量a,b共面,

∴,a,b不能构成空间的一个基底.

5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（   ）

A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底

C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面

D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

【答案】ABCD

【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ABCD.

6．（多选题）设，，是空间一个基底　　

A．若，，则 

B．则，，两两共面，但，，不可能共面 

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使 

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解．

【解答】解：由，，是空间一个基底，知：

在中，若，，则与相交或平行，故错误；

在中，，，两两共面，但，，不可能共面，故正确；

在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使，故正确；

在中，，，一定能构成空间的一个基底，故正确．故选：．

二、填空题

7.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,点N是OB的中点,则=______.

【答案】 -a+b-c

【解析】),,

(a-c)-a+b=-a+b-c.

8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=　　　　　. 

【答案】 -a+b+c

【解析】如图,)=)=-a+b+c.

9.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=　　　　. 

【答案】3

【解析】由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以故有α+β+γ=3.

10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.

【答案】.    .   

【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则

(1) .

(2)由(1) ,又.

又.设异面直线与所成角为则

.

三、解答题

11.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.

【答案】能，=17-5-30．

【解析】能作为空间的一组基底．

假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立

又因为是空间的一个基底,所以不共面.

因此此方程组无解,即不存在实数x,y使=x+y,

所以不共面.故{}能作为空间的一个基底.

设=p+q+z,则有

因为为空间的一个基底,所以解得

故=17-5-30.

12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量为基底的基向量,在下列条件下,分别求x,y,z的值.

(1)=x+y+z;

(2)=x+y+z.

【答案】见解析

【解析】 (1)因为=-,又=x+y+z,

所以x=1,y=-1,z=1.

(2)因为=)=,

又=x+y+z,

所以x=,y=,z=1.