高中3.1 椭圆优秀当堂检测题

3.1.2椭圆的简单几何性质（2） -B提高练

一、选择题

1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆的左､右焦点分别为，,上顶点为,若则该椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，由 可得,

所以椭圆方程是：.

2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“”是“直线与椭圆有公共点”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】由，得直线过点．又点在椭圆内部，故直线与椭圆有公共点，而直线与椭圆有公共点不一定．所以“”是“直线与椭圆有公共点”的充分不必要条件．故选：A．

3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，

令地心为椭圆的右焦点，设标准方程为()，

则地心的坐标为(，0)，其中.由题意，得，，

解得，，所以.

4.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是(    )

A．卫星向径的最小值为               

B．卫星向径的最大值为

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

【答案】D

【解析】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.

根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为，卫星向径的最大值为，所以A, B正确.

当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由，可得越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.

则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D

5．（多选题）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ）

A．为定值 B．的周长的取值范围是

C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为

【答案】ACD

【解析】设椭圆的左焦点为，则∴为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，∴的范围是，

∴的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，，又∵，∴，

∴为直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，，

∴，D正确．故选：ACD

6. （多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长轴长为

【答案】ACD

【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.故选：ACD

二、填空题

7. （2020·广西南宁高二月考）已知O为坐标原点，点，分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且，与y轴交于点B，则________.

【答案】

【解析】因为,所以的长度是椭圆通径的一半，即，因为，所以是三角形的中位线，即.

8． （2020南昌县莲塘第一中学月考）已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.

【答案】

【解析】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.

因为，，所以，所以，所以，因为，所以，

即，所以.

9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线交椭圆于两点，若，则的值为__________．

【答案】12

【解析】解法一：由椭圆，则顶点为，而直线也过，

所以为直线与椭圆的一个交点，设，

则=，解得：，

所以或（不合，舍去），把代入椭圆方程得：，故.

解法二：由得，所以，

又，

所以=，因为，所以，故.

10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为__________．

【答案】

【解析】设 ，则 ，， ，由此可得： ，因为 ， ， ，所以 .又由题意知， 的右焦点为 ，故 ，因此 ，所以的方程为：.

三、解答题

11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线C交于不同的两点、，求．

【解析】（1）由椭圆的定义知，点的轨迹为椭圆，其中，所以所求动点的轨迹的方程为.

（2）设，，

联立直线与椭圆的方程消整理得：，

所以，，

.

12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为.已知(为原点)

（1）求椭圆的离心率；

（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.

【解析】（1）由题意可得，，设，

因为，所以，

所以椭圆离心率为；

（2）由（1）得，，

所以椭圆方程可设为，直线，

设圆心，由，消去y整理得即，

所以或，当时，；当时，；

又在轴上方，所以，

因为，所以，

因为，，

所以，所以，所以，

由圆同时与轴和直线相切，可得圆的半径为2，

所以点到直线的距离，解得（负值舍去），

所以，，所以椭圆方程为.