高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀随堂练习题

3.2.1双曲线及其标准方程 -B提高练

一、选择题

1.（2020·山东菏泽三中高二期末）与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A.-y2=1 B.-y2=1            C.-y2=1           D.x2-=1

【答案】C

【解析】由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.

2.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(　　)

A.双曲线的一支 B.圆             C.椭圆 D.双曲线

【答案】A

【解析】设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).

3.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||= (　　)

A.2 B. C.2 D.

【答案】C

【解析】由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),

则=(--x,-y),=(-x,-y).∵=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.

∴||===2.

4.（2020·武汉市蔡甸区实验高级中学月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由题意双曲线和椭圆有相同的焦点，

，

，

当且仅当即时等号成立，故的最小值为，故选：B.

5．（多选题）（2020·江苏省镇江中学高二期末）在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（    ）

A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称

C．曲线E关于y轴对称 D．若点在曲线E上，则

【答案】BC

【解析】设，则，则，（）.

故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.

6. （多选题）（2020·广东宝安高二开学考试）已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（    ）

A．点到轴的距离为 B．

C．为钝角三角形 D．

【答案】BC

【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，

所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，

在中，.且，则

为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，，所以选项D错误.故选：BC.

二、填空题

7.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　　. 

【答案】

【解析】因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.

8.（2020·首都师范大学附属中学期中）若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：①若为椭圆，则实数的取值范围为；

②若为双曲线，则实数的取值范围为；

③曲线不可能是圆；

④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为.

其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）

【答案】②

【解析】方程所表示的曲线为

①若为椭圆，则 解得且，故①不正确.

②若为双曲线,则，解得，故②正确.

③当时，曲线是圆，故③不正确.④若表示椭圆，且长轴在轴上，则，则，故故④不正确.故答案为：②

9.（2020·全国高二课时练习）已知圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.

【答案】

【解析】由圆的方程知：与y轴的交点坐标为，∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上∴双曲线的焦点在y轴上，且，又∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分∴，即有，∴此双曲线的标准方程

10.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有　　　　　(写出所有正确结论的编号). 

①当d=0时,D为直线;           ②当d=1时,D为双曲线;

③当d=2时,D与圆C交于两点;    ④当d=4时,D与圆C交于四点;

⑤当d>4时,D不存在.

【答案】①②⑤

【解析】①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;

②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;

③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;

⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.

三、解答题

11.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.

【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,

所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.

由3k+4k+5k=48,得k=4.

所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.

设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).

由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.

由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,

所以b2=c2-a2=100-4=96,

故所求方程为=1.

12.如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.

（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；

（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？

【解析】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为

因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒

故

故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为

由题可知，解得，

故点的轨迹方程为.

（2）因为，设的垂直平分线方程为

则，则的垂直平分线方程为

联立可得，故

故观察员遇险地点坐标为

与检测中心的距离为.

（3）设轨迹上一点为，

则

又因为，可得

代入可得：

当且仅当时，取得最小值.

故扫描半径至少是.