高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品课时训练

专题08 圆的方程

一、单选题

1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程表示一个圆的充要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

表示圆的充要条件是，即.

故选：C．

2．（2019·浙江省高二期中）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

圆心在上，半径为3的圆的标准方程为：

故选： B

3．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

的中点坐标为：，圆半径为，

圆方程为.

故选：.

4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.

5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.

线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.

由.所以外接圆的圆心坐标为.

故选：A

6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，

又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），

把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-

（舍去），∴圆心坐标为（2，1），

则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．

故选A

7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.

8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设中点为，

圆心角等于圆周角的一半，，

，

在直角三角形中，由，

故中点的轨迹方程是：，

如图，由的极限位置可得，.

故选：D

9．（2020·全国高三月考（理））已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（    ）

A．100 B．25 C．50 D．

【答案】D

【解析】

设圆的方程为，将代入可得，

，解得.

故圆的一般方程为，即，

故的面积.

面积的最大值为.

故选：.

10．（2019·全国高三二模（文））已知2，，成等差数列，则圆：上的点到点距离的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．5 D．

【答案】C

【解析】

因为2，，成等差数列，所以，可得，

所以点的轨迹方程为，圆心，则圆上的点到点的最大值为.

故选：C

二、多选题

11．（2019·辽宁省高二期末）圆（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】ABC

【解析】

，所以圆心的坐标为.

A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；

B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；

C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；

D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.

故选：ABC

12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点，直线，下列结论正确的是（    ）

A．恒过定点

B．（为坐标原点）

C．到直线的距离有最小值，最小值为3

D．到直线的距离有最大值，最大值为5

【答案】ABD

【解析】

直线，当时，，故A正确；

，故B正确；

点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：

由图可知，点到直线的距离最小值为0，

当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C错误，D正确.

故选：ABD.

13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（ ）

A．的方程为

B．在轴上存在异于的两定点,使得

C．当三点不共线时,射线是的平分线

D．在上存在点,使得

【答案】BC

【解析】

设点，则，化简整理得，即，故A错误；当时，，故B正确；对于C选项，，,要证PO为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，

，则证

，故C正确；对于D选项，设,由可得，整理得，而点M在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D错误.故答案为BC.

三、填空题

14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆关于直线的对称圆的方程为_____.

【答案】

【解析】

的圆心为，关于对称点设为，

则有: ，解得，

所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.

故答案为：

15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程表示圆C中，则圆C面积的最小值等于________.

【答案】

【解析】

当时，半径最小为，故面积为

故答案为

16．（2020·全国高三月考（理））已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________

【答案】

【解析】

设点，则       

又因为，则，

故，，

易得函数在上单调递增.

则的最小值为，故的最小值为.

故答案为：

17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.

【答案】    8   

【解析】

设圆的方程为

由题意可得，解得，

所以圆的方程为；

设点到圆心的距离为，

则点到圆上动点的距离最大值为.

故答案为：；8

四、解答题

18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．

【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18.

【解析】

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．

由题意得解得∴圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.

点睛：

确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.

【答案】，

【解析】

设圆的方程为：，

则：，

，

，

所以或，

因此圆的方程为：，.

20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.

（1）求圆的方程；

（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.

【答案】（1）（2）或.或

【解析】

分析：

（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。

详解：

（1）由知圆心的坐标为，

圆关于直线对称，点在直线上，

则，又，圆心在第二象限， ，，

所求圆的方程为

（2）当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设的方程为，

圆的方程可化为，圆心到切线的距离等于半径，

即，，或

当切线在两坐标轴上的截距为零，设，求得：

所求切线方程或或

21．（2019·四川省成都七中高二期中（理））已知圆P过.

（1）求圆P的方程；

（2）若过点的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）设圆P的方程为：.

∵A，B，C都在圆上，

∴，解得.

∴所求圆P的方程为.

（2）由，知圆心，半径，

由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距

当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：，

即，

∴圆心P到直线l距离，化简得，则.

∴直线l方程为：，即

当直线轴时，直线l方程为，

代入圆方程得，解得，

∴弦长仍为8，满足题意.

综上，直线l的方程为或

22．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）圆C过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直线的斜率，

所以的垂直平分线m的斜率为1.

的中点的横坐标和纵坐标分别为，.

因此，直线m的方程为.即.

又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组

，

解得

所以圆心坐标为，又半径，

则所求圆的方程是.

（2）设线段的中点，

M为线段的中点，则，

解得

代入圆C中得，

即线段中点M的轨迹方程为.

23．（2019·四川省成都七中高二期中（理））已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）线段的中垂线方程为：，

圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.

由，得，∴圆心C为，

又半径，

∴圆C的方程为.

（2）直线l垂直于直线，则

又直线l过原点，则直线l的方程为：，

所以点C到直线l的距离为：，

，

.