人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算复习练习题

第六章 平面向量及其应用

6.2.3向量的数乘运算

一、基础巩固

1．在中，，且，，分别为，的中点，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

如图，由题得.

2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

3．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，

∴===+=.

4．如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题意，根据向量的运算法则，可得，

5．若点M是的重心，则下列各向量中与共线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，不与共线

，不与共线

因为点M是的重心，所以，，

所以，与共线

，不与共线

故选：C

6．已知是的重心，且，则实数(    )

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】C

【详解】

因为是的重心，所以，解得.

7．在中，若，则点G是的（    ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

【答案】D

【详解】

因为，

所以，

化简得，

故点G为三角形ABC的重心

8．已知点O，N在所在的平面内，且，，则点O，N依次是的（    ）

A．重心、垂心 B．外心、垂心

C．外心、重心 D．外心、内心

【答案】C

【详解】

因为，

所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，

所以O为的外心；

由，得，

由中线的性质可知点N在AB边的中线上，

同理可得点N在其他边的中线上，

所以点N为的重心.

9．（多选）若是直线上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的坐标为0 D．

【答案】BD

【详解】

因为，，所以，，，，，，的坐标为.

10．（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】

如图，

在中，，故A正确；

，故B正确；

，，故C正确；

，故D不正确．

11．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【详解】

对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

12．（多选）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（    ）

A．当时，

B．当P是线段的中点时，，

C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．的最大值为

【答案】BCD

【详解】

当时，，则在线段上，故，故A错

当是线段的中点时，

，故B对

为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对

如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；

又；，；

由图形看出，当与重合时：；

此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确

二、拓展提升

13．已知直线上向量的坐标为的坐标为5，求下列向量的坐标：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）3 （2）1 （3）-11

【详解】

解：（1）的坐标为.

（2）的坐标为.

（3）的坐标为.

14．化简：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】

（1）原式；

（2）原式；

（3）原式．

15．已知单位向量的夹角，向量.

（1）若，求的值；

（2）若，求向量的夹角.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）根据题意，向量 ，

若，设 ，

则有，

则有，解可得；

（2）根据题意，设向量的夹角为；

若，则 ，

所以，

所以，

又，则，

所以，

又，

所以，

又由，所以；

故向量的夹角为．