数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算练习

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基础巩固
1．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】
由题意得，对于A中，表示与共线的向量，
表示与共线的向量，所以不正确；
对于B中，时，此时，
而，所以不正确；
对于C中，若，
而此时与不一定是相等向量，所以不正确；
对于D中，因为、、是非零向量，
若，则是正确.
2．中，A（1，2），B（3，2），C（-1，-1），则在 方向上的投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意可得，，
所以在 方向上的投影是.
3．在正方形中，为边上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
故．
4．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据 与垂直得到（ ）·=0，
所以.
5．已知向量的夹角是，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
向量的夹角是，，∴.
∴，
.
∴.
6．设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，是直线的一个方向向量，则，
是直线的一个法向量，，
则，
故，
7．已知向量，满足：，，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】
因为，所以，则，又，则，所以，所以.
8．已知 ，为单位向量，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由已知得，即，
解得，所以在方向上的投影为，
9．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，,若,则
B．单位向量，，则
C．若且，则
D．若点为的重心，则
【答案】AC
【详解】
对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；
对于选项B：，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点为的重心，取的中点，则
，故选项D正确，
10．下列说法中正确的是（ ）
A．B．若且，则
C．若非零向量且，则D．若，则有且只有一个实数，使得
【答案】AC
【详解】
由，互为相反向量，则，故A正确；
由且，可得或，故B错；
由，则两边平方化简可得，所以，故C正确；
根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除为零向量.
11．（多选）是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．为单位向量B．C．D．
【答案】ACD
【详解】
是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则，，所以，即是单位向量，A正确；
由，得，，，故，夹角为，故B错误；
因为，所以，C正确；
，故D正确．
12．（多选）已知平面向量，，满足.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】BCD
【详解】
， ，则
，，，
所以的值可能为
拓展提升
13．己知，的夹角为，
（1）求的值;
（2）求与夹角.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1） 由题意得，，
∴，
∴
（2），
∴
又，
∴
又，
∴，
又
∴与夹角为
14．已知向量与向量的夹角为，且，，.
（1）求的值
（2）记向量与向量的夹角为，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）由，所以.
（2）因为
所以
所以.
15已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
解：（1）∵，
∴，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
整理得：，
解得：或.