高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀练习题

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4.2.1 等差数列的概念（1）  -B提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）在等差数列中，，则（    ）A．0 B．1 C． D．3【答案】A【详解】设等差数列公差为,由得：，即    ,故选：2．（2020·河北保定市高碑店一中高二月考）已知数列中，，，若为等差数列，则（    ）A．0 B． C． D．2【答案】A【详解】因为，，，故所以，故.故选：A.3．（2021·全国高二课时练习）已知数列是等差数列，且.若，则数列是（    ）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列【答案】D【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.4．（2020·西安交大苏州附中高二期中）我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（    ）A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5【答案】C【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，则，，两式相减得，解得，所以，解得，故选：C5．（多选题）（2021·全国高二课时练）给出下列命题,正确命题的是（    ）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.【答案】BCD【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.6. （多选题）（2020·福建三明高二期中）设d为正项等差数列的公差，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.二、填空题7．（2021·全国高二课时练）三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.【答案】【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.8．（2020·山东泰安实验中学高二月考）在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.【答案】30【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.9．（2021·全国高二课时练）在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.【答案】【详解】∵，∴数列是等差数列，又，∴，∴．10．（2021·全国高一课时练）已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.【答案】【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，所以有.三、解答题11．（2020·山西师大附中高二期中）首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.【详解】，，由，即，∵满足的的最小值是15，，，又.12．（2020·湖北黄石高二月考）设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．