高中4.3 等比数列优秀巩固练习

4.3.2等比数列的前n项和公式 (2)   -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（    ）

A．d B．f C．e D．#d

【答案】D

【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.

2．（2021·山东临沂市高二期末）已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（    ）

A．376 B．382 C．749 D．766

【答案】C

【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，

，

，化简得，

3．（2021·湖北黄石高二期末）在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，

若为阴性则认定在另一组；

若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，

继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，

若为阴性则认定在另一组；

若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.

继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，

若为阴性则认定在另一组；

若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，

继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，

若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.

选认定的这组的2人中一人进行样本检查，

若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，

所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C.

法二：设第次检测后余下的人数为，则且，

故，令，则，故需要检测5次，故选：C.

4．（2021·宁夏吴忠市吴忠中学高二期末）已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，，得 ；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．

因为，所以．又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，，

由，得，所以，

所以，所以．综上，实数的取值范围是．

5．（多选题）（2021·江苏省木渎高级中学高二期末）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最小值为 D．的最大值为400

【答案】AC

【详解】由题可知，第一次着地时，；第二次着地时，；

第三次着地时，；……

第次着地后，

则，显然，又是关于的增函数，，故当时，的最小值为；

综上所述，AC正确故选：AC

6. （多选题）（2021·全国高二课时练）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．数列为等比数列

C．数列中 D．数列的前项和为

【答案】BCD

【详解】因为，所以．

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；

所以，则．

当时，，但，故A错误；

由当时，可得，故C正确；

因为，所以

所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．

二、填空题

7．（2021·北京高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.

【答案】4

【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，

小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.

8．（2021·河南郑州市高二期末）数列中，，若，则_______________________．

【答案】3

【详解】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．所以．因为，所以．

9．（2020·宁夏银川一中高二期末）如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.

【答案】

【详解】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.

第个正方形的边长为，，，

，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列..

10．（2021·河南开封高二期末）已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】因为，所以，

∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，

∴，.因此.

所以对恒成立，可化为对恒成立.

当为奇数时，，所以 ，即；

当为偶数时，，解得.综上，实数的取值范围是.

三、解答题

11．（2021·上海市金山中学高二期末）某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.

（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.

（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？

【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，

又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，

即到第一个月底，欠款余额为元；

（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，

，

，

……

整理得：；

（3）由题意可得：，所以，

因此

12．（2020·辽宁高二期末）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．

（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；

（2）若，求数列的前项和．

【详解】

解：（1）由题意可得，，

∵，

∵，

∴，，

∴，数列是以250为首项，以为公比的等比数列，

∴，，

令可得，

∴，

从而可得，，

故，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；

（2），

，

，

两式相减可得，，

，

∴．