人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀综合训练题

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4.4数学归纳法   -A基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵，，∴所取的第一个正整数为2，又，故第一步应验证．故选：B2．（2021·甘肃省会宁县第二中学高二期末）用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到3．（2021·河南洛阳市高二期末）用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（    ）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对【答案】D【详解】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：D4．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，时，为了使用假设，应将变形为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：假设当时，命题成立，即能被3整除，则当时， ．故选：A.5．（2021·上海普陀区曹杨二中高二期末）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ）A．增加一项 B．增加两项、C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项【答案】D【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，∴，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项,故选：D6．（多选题）（2021·江苏省江阴高级中学高二期末）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.二、填空题7．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.【答案】【详解】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+.8．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.【答案】【详解】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.9．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【详解】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.10．（2021·全国高二课时练）已知，用数学归纳法证明时，_________．【答案】【详解】因为当时，，当时，，所以三、解答题11．（2021·西安市铁一中学高二期末）在数列中，（1）求出并猜想的通项公式；（2）用数学归纳方证明你的猜想.【详解】解：(1) ∵，∴ 因此可猜想: ；(2)当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，.12．（2021·全国高二课时练）观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【详解】解析（1）第5个等式为．第个等式为，．（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．②假设时，命题成立，即，则当时，，即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．