人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀课时训练

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4.4数学归纳法     -B提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，结合本题，当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，成立.因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．故选：D．2．（2021·吉林吉林市高二期末）用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.3．（2021·全国高二课时练）已知，则（    ）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，【答案】C【详解】中共有项，当n=2时，.4．（2021·全国高二课时练）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．5．（2021·上海黄浦区格致中学高二期末）用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（    ）A．1项 B．项 C．项 D．项【答案】D【详解】由题意，时，最后一项为，时，最后一项为
所以由变到时，左边增加的项为，增加了项
故选：D6. （多选题）（2021·浙江省桐庐中学高二期末）数列满足，，则以下说法正确的为（    ）A.；        B.；C.对任意正数，都存在正整数使得成立；D..【答案】ABCD【详解】，若，则，∴，∴，A正确；由已知，∴，B正确；由及①得，，∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；(i)已知成立，(ii)假设，则，又，即，∴，由数学归纳法思想得D正确．二、填空题7．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．【答案】【详解】由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边．8．（2021·陕西省洛南中学高二期末）凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.【答案】【解析】凸边形的内角和比凸边形的内角和多出一个三角形的内角和，即，所以.9．（2021·上海浦东新区上外浦东附中高二期末）用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________【答案】【详解】当时，等式的左边为：，当，等式的左边为：，所以从到，等式左边需增加的代数式为.10．（2021·上海高二专题练）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.【答案】【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立，即成立由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.所以应证明当时，等式也成立，故答案为：三、解答题11．（2021·河南信阳市高二期末）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.【详解】（1）由题意得，，，，，猜想：.（2），，，，，，，，，，则当时，，猜想：当时，，即，下面利用数学归纳法证明：①当时，，，，结论成立；②假设时结论成立，即，那么当时，，而时，，即，所以，所以当时，结论也成立.由①②可知，当时，结论成立.综上，当时，，当时，，即.12．（2021·江西九江高二期末）设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【详解】（1）当时，，∴，当时，，∴，∴，，猜想，；（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．