人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

第八章 立体几何初步

8.6.3  平面与平面垂直

一、基础巩固

1．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，，，则. B．若，，则.

C．若，，，则. D．若，，，，则.

【答案】C

【详解】

选项A. 由，，，不能得出，故不能得到，所以A错误.

选项B. ，,则可能是，不一定是，所以B错误.

选项C. 由，，则，又，则，所以C正确.

选项D. 若，，，,若时，则可能相交，所以D不正确.

2．若是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【详解】

对A，当，，则或或与相交；对B，当，，，则或与相交；对C，若，，则或或与相交；对D，若，，则.

3．已知直线和平面满足，下列命题：

①∥；

②∥；

③∥；

④∥

正确命题的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】D

【详解】

由图可知，命题①不正确；

，， ，且，

又， ，则，故命题②正确；

若由图可知，命题③不正确；

，，

又 ， ，故命题④正确.

4．如图，在三棱锥中，，，、、分别是所在棱的中点.则下列说法错误的是（    ）

A．面面 B．面面 C． D．

【答案】D

【详解】

解：、分别是，的中点，

，又平面，平面，

平面，

同理可得平面，

又，平面平面，故正确；

，，，

平面，

，故正确，

又平面，

平面平面，故正确；

假设，又，

，与矛盾，故与不平行，故错误，

5．已知两个不重合的平面，若直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

根据面面垂直的判定定理，可知若且，可推出，即必要性成立；反之，若，则与的位置关系不确定，即充分性不成立；

所以“”是“”的必要不充分条件.

6．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面

D．以上都有可能

【答案】A

【详解】

∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.

7．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

如图，

是的中点，，

在菱形中，，，得、是等边三角形，

，即，

正三角形中，是的中点，则，可得，

又面面，且面面，

平面，则，

在△中，由，可得，

在等腰三角形中，取的中点，连接，可得，

设点到直线的距离为，

则由等面积法可得，，

．

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【详解】

取的中点，连接，由，所以，

过点作，交于点，则，如图所示，

由平面，平面，所以，

且 ，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

由，为的中点，且，所以，

又由，所以，所以.

9．（多选）设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【详解】

对于A，若，则可能平行、异面或相交，故A不正确；

对于B，若，则与垂直、平行，相交不垂直或，

故B不正确；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，若，则，故D正确.

10．（多选）设和是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】BCD

【详解】

，，，并不能推出，这时和还可能相交，故A错误；

若，，则，又，则，B正确；

若，，则或，又，则，C正确；

若,，中，又，则，D正确.

11．（多选）正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论正确的是（    ）

A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段

B．平面DMN⊥平面BCC1B1

C．三棱锥A-DMN的体积为定值

D．△DMN可能为直角三角形

【答案】ABC

【详解】

对于A，由直线与平面平行的定义得，在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段，故A正确；

对于B，若满足，则线段必过正方形的中心，而平面，所以，平面DMN⊥平面BCC1B1 。故B正确

对于C，当分别在上运动时，的面积不变，到平面的距离不变，所以，棱锥的体积不变，即三棱锥A-DMN的体积为定值，C正确；

对于D，如图，当分别在上运动时，D项，若△DMN为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长大于，所以，△DMN不可能为直角三角形，故D错误；

12．（多选）如图所示，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，点为正方形的中心，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与是异面直线

B．线段与的长度不相等

C．直线平面

D．直线与平面所成角的正弦值为

【答案】BD

【详解】

解：对于A选项，连接，易知平面，平面，所以直线和共面，A项错误；

对于B选项，设的中点为，连接、，则，

∵ ，，，

∴ 平面，

平面，

∴ 平面平面，

平面平面，平面，

平面，

平面，，

、分别为、的中点，则，

又，故，，，故B项正确；

对于C选项，由于平面，故平面，故，所以不满足，所以直线平面不成立，故C选项错误；

对于D选项，设与平面所成的角为，则，则，故D选项正确.

二、拓展提升

13．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面

【答案】证明见解析

【详解】

证明：∵是半圆直径，∴，

∵四边形是正方形，∴

∵平面平面，且平面平面，

平面，∴平面，

∵平面，∴，∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

14．在四棱锥中，底面为矩形，平面，E，F分别为，的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）连接交于点O，连接，如图所示：

∵为矩形，∴O点为中点，

∵E为中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面，

同理可得：平面，

∵，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面

（2）∵平面，平面，

∴，

∵为矩形，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

15．如图，在四棱锥中，为正三角，平面平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）为中点，证明见解析.

【详解】

（1）∵∴

∵面面，面面∴面

又面，∴面面

（2）取中点，连接，∵为正三角形∴

∵面面，面面，∴面，所以为三棱锥的高，因为，为正三角形，所以.

（3）为中点时，平面.

取中点，中点，连接，则，，又，∴且，所以四边形为平行四边形

∴，因为面，面

∴面