7．1　复数的概念

[A　基础达标]

1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．

2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　)

A.   B.

C．5   D．25

解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.

3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)

A．3－i   B.－3i

C．2－i   D.－2i

解析：选D.由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y<0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i.故选D.

4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．5   B.

C．2   D．2

解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，

所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.

5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是(　　)

A．－＋i   B.－i

C．－＋i   D.－i

解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝，则Z′对应的复数是－＋i.

6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．

解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.

答案：

7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________．

解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.

答案：1＋2i或－1－2i

8．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．

解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.

答案：5

9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：

(1)位于第四象限；

(2)位于第一、三象限；

(3)位于直线y＝x上．

解：(1)由题意得解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．

(2)由题意得或

所以m>7或－2<m<3，

此时复数z对应的点位于第一、三象限．

(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，

所以m2－6m－11＝0，

所以m＝3±2，

此时复数z对应的点位于直线y＝x上．

10．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.

(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．

解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，

故z1＝2－i.

(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，

则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，

故z2＝－2－i.

[B　能力提升]

11．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈，所以cos θ＋sin θ＝sin<0，sin θ－cos θ＝sin(θ－)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.

12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是(　　)

A．5   B．2

C．7   D．3

解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.

13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．

解析：因为z1＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z2＝－2＋3i.

答案：－2＋3i

14．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，

(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；

(2)|z2|<.

解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，则⇒

(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．

(2)由|z2|<，得<，

即3sin2 θ＋cos2 θ<2，

所以sin2θ<，

所以kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．

[C　拓展探究]

15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|＝；

(2)|z|≤3.

解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

(1)|z|＝，所以x2＋y2＝2，

所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．

(2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9.

所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．