6．3　平面向量基本定理及坐标表示

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第2课时　两向量共线的充要条件及应用

问题导学
预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：
1．两向量共线的充要条件是什么？
2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？

两向量共线的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
■名师点拨
(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．(　　)
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.(　　)
答案：(1)√　(2)√
下列各组的两个向量共线的是(　　)
A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)
C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)
D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)
答案：D
已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　)
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2)
D．a＝(－4，－8)
解析：选D.由题意得＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4，所以D正确．
已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．
答案：


向量共线的判定
　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解】　(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，
所以k＝－.故填－.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因为2×6－3×4＝0，
所以∥，所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．

[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？
解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－，
所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，
a＋kb＝a－b＝(1，－2)－(3，4)
＝＝(0，－10)，
所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．

向量共线的判定方法


1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝(　　)
A．－5　　　　　　　 B．
C．7 D．－
解析：选D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－.
2．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，
所以与共线且方向相反．
法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反．

三点共线问题
　(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
【解】　(1)证明：由题意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，
即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
(2)法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，
所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
法二：由已知得与共线，
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

判断向量(或三点)共线的三个步骤
　

1．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为(　　)
A．－3　　　　　　　　　 B．9
C．－9 D．3
解析：选A.设C(x，6)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
又＝(－2，－4)，＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以x＝－3.
2．设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，
所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
所以当x＝2时，与共线且方向相同．
此时，＝(2，1)，＝(－3，2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．

向量共线的应用
如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解】　因为＝＝(0，5)＝，
所以C.
因为＝＝(4，3)＝，
所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
　
　如图所示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．

解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
所以＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，所以＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝.
因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以＝－＝－＝－＝.

1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4，0)　　　　　　　　 B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
解析：选C.因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是(　　)
A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3.
3．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．
解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．
所以解得
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
所以k＝－.
[A　基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－5，－10)　　　　　　 B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
解析：选A.因为b∥a，所以2sin α＝cos α，所以＝，所以tan α＝.
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为(　　)
A．1，2 B．2，2
C．3，2 D．2，4
解析：选B.由题意知，＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．　
因为∥，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
5．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　)
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0，2)＝，所以③正确；④因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1，2)⊗m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
解析：由(1，2)⊗m＝(5，0)，可得解得所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．
答案：(2，0)
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
10．(1)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标；
(2)已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．
解：(1)法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2，即M(0，20)，N(9，2)，
所以＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，
则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
(2)①当点P在线段P1P2上时，如图a：

则有＝，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
所以解得故点P的坐标为.
②当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：

则有＝－，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
所以解得
故点P的坐标为(8，－9)．
综上可得点P的坐标为或(8，－9)．
[B　能力提升]
11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
12．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由⇒
又B点在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为______．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
14．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8，3)，
设＝x＋y，则x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，又＝(1，1)，＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
[C　拓展探究]
15．已知平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，
所以4＋4＝5，所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点的坐标为.