10．2　事件的相互独立性

[A　基础达标]

1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)

A．互斥事件　　　　　　 B．相互独立事件

C．对立事件   D．不相互独立的事件

解析：选D.因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．

2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　)

A．0.2　　　　B．0.8　　　　C．0.4　　　　D．0.3

解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5＝0.3，故选D.

3．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p＝(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去)．故选B.

4．(2019·重庆检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为，则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.

5．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为(　　)

A．1  B.  C.  D.

解析：选C.一道数学难题，恰有一人解出，包括：

①A解出，B，C解不出，概率为××＝；

②B解出，A，C解不出，概率为××＝；

③C解出，A，B解不出，概率为××＝.

所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.

6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．

解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

答案：0.26

7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．

解析：设“开关a，b，c闭合”分别为事件A，B，C，则灯亮这一事件为ABC∪AB∪A C，且A，B，C相互独立，

ABC，AB，A C相互独立，

ABC，AB，A C互斥，所以

P＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)

＝××＋××＋××＝.

答案：

8．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．

解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，

停车一次为事件(BC)∪(AC)∪(AB)，

故其概率P＝××＋××＋××＝.

答案：

9．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：

(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？

(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，

且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用  表示，

P(  )＝P()P()P()

＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]

＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)

＝0.003，

即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.

(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用

(BC)∪(AC)∪(AB)表示．

由于事件BC，AC和AB两两互斥，

根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)

＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()

＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]

＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，

即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.

10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出现几人合格的概率最大．

解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，

(1)三人都合格的概率为

P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.

(2)三人都不合格的概率为

P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝.

(3)恰有两人合格的概率为

P2＝P(AB)＋P(A C)＋P(BC)

＝××＋××＋××＝.

恰有一人合格的概率为

P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.

综合(1)(2)(3)可知P1最大．

所以出现恰有1人合格的概率最大．

[B　能力提升]

11．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选B.“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P()＝P()P()P()＝××＝，所以至少有1人回老家过节的概率P＝1－＝.

12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选C.记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P()[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮的概率为1－＝.

13．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________．

解析：由题意可得

解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，

所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.

答案：　

14．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互相独立．

(1)求恰有两个项目成功的概率；

(2)求至少有一个项目成功的概率．

解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为

××(1－)＝，

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为

×(1－)×＝，

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为

(1－)××＝，

所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.

(2)三个项目全部失败的概率为

(1－)×(1－)×(1－)＝，

所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.

[C　拓展探索]

15．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率；

(3)至少有一人击中目标的概率．

解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A∪B；“至少有1人击中目标”是AB∪A∪B.

(1)“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立．

所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.

(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()×P()·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.

(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.64＋0.32＝0.96.