专题04 空间向量与立体几何（单元测试卷）-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合单元测试当堂检测题
专题04 《空间向量与立体几何》单元测试卷一、单选题1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．无法确定【答案】A【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，∴直线AB与CD平行．故选：A．2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，，.故选：A3．（2019·江苏省高二期中）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）A．2 B． C．10 D．【答案】A【解析】由已知，，因为与共线，所以存在实数，使得，故，即，解得.故选：A.4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（　 　）A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z【答案】A【解析】故选：A5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标故正方体外接球半径为故故选：A.6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知，若点D是AC中点，则( )A．2 B． C．-3 D．6【答案】D【解析】,,,.故选:D.7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】,.故选:C.8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设棱长为1，，，由题意得：，，，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A． B． C． D．【答案】A【解析】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，.故与平面所成角的大小为，故选A．10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A． B． C． D．2【答案】D【解析】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．可得：故由得故选：D.二、多选题11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）A． B．C．是平面ABCD的一个法向量 D．【答案】ABC【解析】因为，，所以A，B正确，因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，,不满足，则D不正确故选：ABC.12．（2020·福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )A．平面 B．平面C． D．点与点到平面的距离相等【答案】AC【解析】对A,因为,分别是和的中点故,故平面成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.对C,同B空间直角坐标系有,.故成立.对D, 点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上,故点不在平面上.故D不成立.故选：AC13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A．= B．C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故选项A正确；在中，，，，，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，，点到平面的距离即中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，，所以，故选项D错误.故选：AC三、填空题14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量2，，x，，且，则x的值为______．【答案】8【解析】，解得．15．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.【答案】且【解析】由与的夹角为钝角可得且与不共线，则即且.故答案为：且.16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.【答案】【解析】分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则，可得，则，即异面直线与AM所成角的余弦值为.故答案为：17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．【答案】，【解析】由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．四、解答题18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线AE和平面OBC的所成角.【答案】（1）；（2） 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，（1），，故，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）平面的法向量为，，故，因，故，故与平面所成的角为.19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】 (1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),,,,,与BE是平面BDE内两条相交直线平面BDE（2）由（1）进一步可得F(0，)，设平面BDE的法向量为，可取，设平面FBE的法向量为，由,可得，取x=1，可得(1,-2,).由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且. (1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）； （2）.【解析】 (1)建系以为原点，如图，，所以 (2），，设是平面的法向量，则，即，取所以与平面所成的角的正弦值.21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体中，分别是的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论。【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为则，，，，，，，（1）设异面直线与所成角为，，即异面直线与所成角的余弦值为：（2）假设在棱上存在点，，使得平面则，，设平面的法向量，令，则， ，解得： 棱上存在点，满足，使得平面22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，平面，，交于点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明1：在中,.因为交于点,所以.因为平面,所以,所以.又因为平面,所以平面所以平面,所以.证明2：如图,以为原点,分别以为轴,建立空间直角坐标系.在中,.因为交于点,所以,所以,所以,所以（2）解：由（1）可知,,.设平面的法向量为,所以即令,则,所以.设直线与平面所成角为,则.23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．