高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义课后练习题

5.1.1变化率问题 -B提高练

一、选择题

1．（2021·天津河西区高二期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ）

A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121

A【详解】，

所以函数在区间上的平均变化率为.

2．（2021·全国高二课时练）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

C【详解】由题意得，，由题图易知，

∴.

3．（2021·全国高二课时练习）某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（    ）

A． B． C． D．

A【详解】位移增量.

4．（2021·山东泰安一中高二月考）两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则一定有（      ）

A．比节能效果好

B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大

C．两学校节能效果一样好

D．与自节能以来用电量总是一样大

A【详解】由图象可知，对任意的，曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，所以，比节能效果好，A正确，C错误；

由图象可知，，则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线和曲线不重合，D选项错误.

5．（2020·全国高二专题练）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（    ）.

A． B． C． D．

C【详解】平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，

观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致．

6. （多选题）（2021·全国高二课时练）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论正确的是(  )

A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

ACD【详解】A.在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率相不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.

二、填空题

7．（2021·陕西宝鸡市高二期末）函数在区间上的平均变化率为_________.

【答案】

【详解】函数在区间上的平均变化率为：.

8．（2020·全国高一课时练习）已知曲线上两点，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________.

【答案】

【解析】由函数的解析式有：，

则，

当Δx＝1时，割线AB的斜率为.

9．（2020·浙江高二专题练）某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的__________．

【答案】

【详解】由题意，可得平融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致．

10．（2021·全国高课二时练）函数与在区间上增长较快的是________．

【答案】

【详解】在上取，，

，因为，所以，，

所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．

三、解答题

11．（2020·全国高二课时练）（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值为：①2；②1；0.1；④0.01

（2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？

【详解】（1）因为

所以.

①当时，；

②当时，；

③当时，；

④当时，.

（2）当越来越小时，

由（1）得，

函数在区间上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．

12．（2021·全国高二专题练）巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.

【详解】从A处到B处高度的平均变化率为,

从B处到C处高度的平均变化率为,

由,知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.

故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.