数学选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义综合训练题

5.1.2导数的概念及其几何意义   -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）若（m为常数），则等于（    ）

A． B．1 C．m D．

【答案】D

【详解】由题意，根据导数的概念可得，

，所以.

2．（2020·全国高二课时练）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，

又，所以.

3．（2020·全国高二课时练）已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】直线经过，两点，.

直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，

所以.

4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)

A．(1，1) B．(－1，1)

C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)

【答案】C

【详解】因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.

由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.

当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).

5．（多选题）（2020·河北正定高二月考）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论正确的是（  ）

A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

【答案】ACD

【详解】A在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确.

6．（多选题）（2020·山西师大附中高二月考）下列命题正确的是（    ）

A．若，则函数在处无切线

B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点

C．曲线在处的切线方程为，则当时，

D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为

【答案】BD

【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；

函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；

因为曲线在处的切线方程为，所以

又，故选项错误；

因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确．

二、填空题

7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.

【答案】2

【详解】∵f ′(1)＝2，又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.

8．（2020·江西九江高二月考）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．

【答案】2

【详解】由图像的信息可知．

9．已知曲线y＝f (x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x)在交点处的切线方程为________．

【答案】(1，1)；　x－2y＋1＝0

【详解】　[由得∴两曲线的交点坐标为(1，1)．

由f (x)＝，得f ′(x)＝ ＝ ＝，

∴y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.

10．（2020·湖南衡阳高二月考）已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________．

【答案】2

【详解】由导数的定义，得f ′(0)＝ ＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.

因为对于任意实数x，有f (x)≥0，

则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.

三、解答题

11．（2020·全国高二课时练）在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：

（1）平行于直线；

（2）垂直于直线；

（3）倾斜角为．

【详解】设点P的坐标为，则

，

∴当趋于0时，．

（1）∵切线与直线平行，∴，即，

∴，，即．

（2）∵切线与直线垂直，

∴，即，

∴，，即．

（3）∵切线的倾斜角为，

∴，即，

∴即，即．

12．（2020·山东菏泽三中高二期中）设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

【详解】∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，

∴f ′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－.

由题意知f ′(x)的最小值是－12，

∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.