拓展四 导数与零点、不等式的综合运用（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册（人教A版）

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拓展四 导数与零点、不等式的综合运用【题组一 零点】1．（2020·历下·山东师范大学附中）已知函数，其中e是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析【解析】（1）因为，所以. 由得；由得.所以由的增区间是，减区间是.（2）因为.由，得或.设，又即不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数.因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取得最小值.①当即时，无零点； ②当即时， 有唯一零点；③当，即时，因为，所以在上有且只有一个零点. 令则.设，所以在上单调递增，所以，都有.所以. 所以在上有且只有一个零点.所以当时，有两个零点综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.2．（2020·湖北）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．【答案】（1）；（2）方程恰有三个不同的实根，1，，理由见解析.【解析】（1）当时，，则，因为，所以，则所求切线方程为，即．（2）当时，，方程，即．令，定义域为，则．令，则，令，得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以．又，，，．所以在上存在唯一零点，记为．在上存在唯一零点，记为．则，．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．又，，所以在上存在唯一零点1．因为，，所以存在唯一的，使得．存在唯一的，使得，且，．综上，方程恰有三个不同的实根，1，．3．（2020·河南）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）只有一个零点，理由见解析.【解析】（1）的定义域为，，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.（2）当时，，其定义域为，则.设()，则，从而在上是增函数，又，，所以存在，使得，即，.列表如下：100增函数极大值减函数极小值增函数由表格，可得的极小值为；的极大值为因为是关于的减函数，且，所以，所以在内没有零点.又，，所以在内有一个零点.综上，只有一个零点.4．（2020·河北）已知函数，．（1）求在区间上的极值点；（2）证明：恰有3个零点．【答案】（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析.【解析】（1）（），令，得，或．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故是的极大值点，是的极小值点．综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．（2）（），因为，所以是的一个零点．，所以为偶函数．即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．当时，．令，即，或（）．时，，单调递减，又，所以；时，，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．．而在区间内单调递增，，所以恒成立，故在区间内无零点，所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，所以在区间内有一个零点，而，综上，有且仅有三个零点．5．（2020·湖北随州·高三一模（理））已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间是和，减区间是（2）【解析】（1）因为，所以，.令，解得或.函数的增区间是和，减区间是.（2），.当时，，只有1个零点，不合题意.当时，.时，，为减函数；时，，为增函数，极小值.又，当时，，使.当时，，，.取，则，，函数有2个零点.当时，由，得或.①当，即时，由，得或，在和递增，在递减.极大值.函数至多有1个零点，不符合题意；②当，即时，在单调递增，至多有1个零点，不合题意；③当，即时，由，得或，在和递增，在递减.，时，，.又，函数至多有1个零点，不合题意.综上，的取值范围是.6．（2020·河北唐山）设函数.（1）讨论在上的单调性；（2）证明：在上有三个零点.【答案】（1）的单调递减区间为，；单调递增区间为，.（2）证明见解析【解析】（1），由及，得或或.当变化时，和的变化情况如下表：0－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗  所以的单调递减区间为，；的单调递增区间为，.（2）当时，由（1）得，的极小值分别为，；极大值.又，所以在上仅有一个零点0；在，上各有一个零点.当时，，令，则，显然时，单调递增，；当时，，从而时，，单调递减，因此，即，所以在上没有零点.当时，，令，则，显然时，，；当时，，从而时，，单调递增，因此，即，所以在上没有零点.故在上仅有三个零点.7．（2020·河北）已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若在有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】（1）证明：当时，函数.则，令，则，令，得.当时，，当时，在单调递增，（2）解：在有两个零点方程在有两个根， 在有两个根，即函数与的图像在有两个交点．，当时，，在递增当时，，在递增所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．8．（2020·岳麓·湖南师大附中）设函数，其中.（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），由，得，则，即在上为增函数.故，即.（2）由，得.设函数，则.令，得.则时，时，，所以在上单调逼增，在上单调减.又因为，所以当时，方程在区间内有两个不同解，即所求实数a的取值范围为.【题组二 导数与不等式】1．（2019·南宁市银海三美学校期末）设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）当时，，∴在上单调递减；当时，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；（2）函数；在时恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴的取值范围为.2．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）当时，，则，设切点坐标为，∴，解得，∴，∴过原点的切线方程；（2），∴，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴，无极大值；（3），恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，当时，，设，，∴恒成立，∴在上单调递减，∴，∴，综上所述.3．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，所以，解得.所以，.由解得；由解得，所以的单调增区间是，单调减区间是.（2），由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值，，因为对于都有成立，所以只须即可，即，解得.4．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高二月考（文））已知为函数的极值点（1）求的值；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1），，解得，经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，． （2），，设，其中，令，则，在递增①当时，即，，在递增，符合题意，所以 ②当时，即，，，在上，，在递减，所以时，不符合题意,综上，实数的取值范围为5．（2020·四川内江·高二期末（理））已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．【解析】（1）由已知，当时，，当时，，∴的减区间是，增区间；（2）函数的定义域是，定义域是，不等式为，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，时，，，又在上是增函数，，，∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，，，，∴，∵，∴，∴整数的最小值为2．6．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））设函数在及时取得极值．（1）求 的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．7．（2020·广东濠江·金山中学高二月考）已知函数（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，.（i）当时，，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减，因此的极大值为，不合题意；（ii）当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，在，在单调递减.所以的极大值为，得.综上所述；（2）令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立.（i）当时，，，，此时，不合题意.（ii）当时，令，，则，其中，令，，则在区间上单调递增，①时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立.②时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，.8．（2020·湖南娄底·高二期末）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1），由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．（2）令，所以，因为a≥2，所以，令g'（x）=0，得，所以当，当时，g'（x）＜0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，故函数g（x）的最大值为，令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，所以关于x的不等式恒成立．