人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品第二课时一课一练

4．2.1　第二课时　等差数列的性质

[A级　基础巩固]

1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　)

A．公差为－1的等差数列 　 B．公差为20的等差数列

C．公差为－20的等差数列   D．公差为19的等差数列

解析：选D　(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.

2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)

A．5   B．8

C．10   D．14

解析：选B　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.

3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)

A．8   B．4

C．6   D．12

解析：选A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.

4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)

A．a1＋a101＞0   B．a2＋a101＜0

C．a3＋a99＝0   D．a51＝51

解析：选C　根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.

5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)

A．1升   D．升

C.升   D．升

解析：选B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有

即解得则a5＝a1＋4d＝，

故第5节的容积为升．

6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．

解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，

则

解得或

∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.

答案：－21

7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．

解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，

∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.

∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.

答案：1或2

8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.

解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.

答案：n2

9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.

解：法一：由等差数列的性质得

a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.

∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．

∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.

法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.

10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．

解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．

an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，

解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.

当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．

到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．

作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，

当n<10时，600n<(800－20n)n，

当n＝10时，600n＝(800－20n)n，

当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，

当n>18时，440n<600n.

即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．

[B级　综合运用]

11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是(　　)

A．数列{an}是递增数列

B．数列{nan}是递增数列

C．数列是递增数列

D．数列{an＋3nd}是递增数列

解析：选AD　an＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正确；

nan＝na1＋n(n－1)d，

∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．

故数列{nan}不一定递增，B不正确；

对于C：＝＋d，

∴－＝，

当d－a1＞0，即d＞a1时，数列递增，

但d＞a1不一定成立，C不正确；

对于D：设bn＝an＋3nd，

则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.

∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．

12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)

A．1   D．

C.   D．

解析：选C　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，

再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，

∵a1＝，∴d＝，

∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，

a4＝＋＝，

∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|

＝＝.

13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.

解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝.

∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，

∴a7＋a9＝，d＝.∴ak－a9＝(k－9)d，

即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.

答案：　18

14．数列{an}为等差数列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．

解：∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.

∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，

由1－d＋＋1＋d＝，

得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.

当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；

当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.

[C级　拓展探究]

15．下表是一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a45的值；

(2)写出aij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．

解：通过每行、每列都是等差数列求解．

(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．

先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，

公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.

再看第2行，同理可得a25＝27.

最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，

所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.

(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；

第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；

…

第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，

∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)

＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.

要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2 020，

∴j＝.又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.

∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．